La función completa no corta el eje real.

Question

Que sea $ f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ una función completa. Si se verifica que $ f(\mathbb{C}) \cap \mathbb{R} = \emptyset $ entonces podemos deducir que $ f $ es constante* (ver abajo la prueba), pero mi pregunta es, la misma afirmación es cierta si $ f( \mathbb{C} ) \cap [0, \infty) = \emptyset $ ? Y en general, si $ f(\mathbb{C}) \cap [a,b] = \emptyset $ entonces $ f $ debe ser constante?

He probado algunas funciones completas para el caso $ [0, \infty) $ como $ \sin(z) $ y $ \cos(z) $ pero no he encontrado un ejemplo contertulio. No he encontrado ninguna forma similar al procedimiento como en el caso $ f(\mathbb{C}) \cap \mathbb{R} $ .

*Prueba:

Desde $ f( \mathbb{C}) \cap \mathbb{R} = \emptyset $ deducimos que $ \Im(f(z)) > 0 \ \forall z \in \mathbb{C} \ $ o $ \ \Im(f(z)) < 0 \ \forall z \in \mathbb{C} $ porque $ f $ es continua y entonces $ f( \mathbb{C} ) $ debe ser un subconjunto conexo de $ \mathbb{C} $ .

Ahora consideramos las composiciones $ e^{if} = e^{-v + iu} $ y $ e^{-if} = e^{v - iu} $ donde $ f = u + iv $ . Esta función debe ser también entera, y tenemos $$ | e^{if} |= |e^{-v + iu}| = e^{-v} \ \ \mbox{ and } \ \ | e^{-if} |= |e^{v - iu}| = e^{v} $$ Por lo tanto, si $ v(z) = \Im(f(z)) > 0 \ \forall z \in \mathbb{C} $ la primera igualdad da que $ |e^{if(z)}| \leq 1 $ . Del mismo modo, si $ v(z) = \Im(f(z)) < 0 $ la segunda igualdad da que $ |e^{-if(z)}| \leq 1 $ .

Como $ e^{if} $ y $ e^{-if} $ son funciones enteras acotadas, deben ser constantes. Así que deducimos $ f $ es una función constante.

Answer 1

Si $f(z) \notin [0,+\infty)$ por cada $z\in \mathbb{C}$ Consideremos la función definida por $g(z) = \sqrt{f(z)}$ donde usas tu rama favorita de la raíz cuadrada en $\mathbb{C}\setminus [0,+\infty)$ . Entonces $g$ tiene imagen en el semiplano superior o en el inferior, por lo tanto es constante por lo que ya sabes. Pero entonces $f(z) = g(z)^2$ también es constante.

Si $f(\mathbb{C}) \subseteq \mathbb{C}\setminus [a,b]$ , donde $a \neq b$ y $[a,b]$ denota el segmento entre los dos puntos, considere la función definida por

$$h(z) = \frac{f(z)-a}{b-f(z)}\,.$$

Entonces $h$ es una función entera con $h(\mathbb{C}) \subseteq \mathbb{C} \setminus [0,+\infty)$ . Así que $h$ es constante por lo anterior, y $f$ es constante porque

$$f(z) = \frac{bh(z)+a}{h(z)+1}.$$

Answer 2

Esta pregunta y otras variantes más generales de la misma se responden con un célebre teorema de Picard .