Solución de$\int\frac{\sqrt {x^3-4}}{x}dx$: Need Hints

Question

ps

Mi intento: $$\int\frac{\sqrt {x^3-4}} x \, dx$

Luego, sustituyendo$ \displaystyle \int\frac{3x^2\sqrt {x^3-4}}{3x^3}\,dx$; $u=x^3$

ps

ps

Estoy teniendo problemas con la segunda parte. Y Wolfram Alpha dice

¿Me puede dar algunos consejos sobre cómo obtener la función arctanh aquí?

Answer 1

La función dada por Wolfram Alpha es un tanto problemática ya que contiene tanto$\sqrt{x^3-4}$ como$\sqrt{4-x^3}$, por lo que aporta innecesariamente identidades trigonométricas complejas.

Sugerencia: Una gran cosa acerca de$\frac{\mathrm{d}x}x$ es que la sustitución$x\mapsto x^a$ maps$\frac{\mathrm{d}x}x\mapsto a\,\frac{\mathrm{d}x}x$. Por lo tanto, establecer$x=u^{2/3}$ proporciona una sustitución de trigonometría estándar en$u$.

Respuesta completa: si quieres echar un vistazo, pasa el mouse sobre

ps

Answer 2

$HINT$: let$u-4 = t^2$, entonces$du = 2t\,dt$ y$u = t^2+4$. Por lo tanto, es fácil ver dónde viene$\arctan$.

Answer 3

\begin{align} w & = \sqrt{u-4} \\ w^2 & = u-4 \\ 2w\,dw & = du \\ w^2+4 & = u\\[15pt] \int \frac{\sqrt {u-4}}{3u} \, du & = \int\frac{w}{3(w^2+4)} (2w\,dw) = \frac 2 3 \int \left( 1 - \frac 4 {w^2+4} \right) dw \end {align} etc.