Cualquier idea sobre la mitad de la recíproca de la secuencia de Fibonacci?

Question

Definir $R_n=R_{n-1}+\frac{1}{R_{n-2}} $ $R_0=R_1=1$

Definir $K_n=\frac{1}{K_{n-1}}+K_{n-2} $ $K_0=K_1=1$

Estos son todos los límites que me he encontrado usando Python, pero no la base de la prueba de estos límites y se preguntaba si alguien tiene experiencia con estos.

$$\lim_{n\to\infty} \frac{R_{2n}^2}{K_{2n}^2}=\pi\tag{1}$$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{R_{2n+1}^2}{K_{2n+1}^2}=\frac{4}{\pi}\tag{2}$$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{R_{dn}}{R_{n}}=\sqrt{d}\tag{3}$$

Para impar n, y incluso d

$$\lim_{n\to\infty}\frac{K_{dn}}{K_{n}}=\frac{2\sqrt{d}}{\pi}\tag{4}$$

Otra cosa

$$\lim_{n\to\infty}\frac{K_{dn}}{K_{n}}=\sqrt{d}\tag{5}$$

y

$$\lim_{n\to\infty}(K_{2n+1}^2-K_{2n-1}^2)=\pi; \;\; \lim_{n\to\infty}(R_{n+1}^2-R_{n}^2)=2\tag{6}$$

Y hice las matemáticas hace mucho tiempo y perdí mis métodos, pero que terminó siendo la fórmula

$$R_{an}\approx F(R_n,a)=\frac{R_n^2\sqrt{a}+\sqrt{aR_n^4+2R_n^2(a-2)+a}}{2R_n}\tag{7}$$

y la sustitución de R_n=1 se obtiene la aproximación (aunque débil) fórmula

$$R_n\approx\frac{\sqrt{n}}{2}+\sqrt{n-1}\tag{8}$$

Supongo que mi pregunta sería ¿hay una mejor aproximación a la leche de fórmula? ¿Qué sucede cuando podemos generalizar a ($R_0=a, R_1=b$) o ($K_0=a, K_1=b$) Hay una buena aproximación de la fórmula para $K_n$, y por qué la secuencia de relaciones anteriores convergen a $\pi$

Answer 1

Solo cubriremos el caso de $K_0 = K_1 = R_0 = R_1 = 1$ aquí.

Veamos la secuencia de $K_n$ primera. Resulta que podemos expresar $K_n$ en forma cerrada.
La clave es la siguiente observación:

$$K_n = \frac{1}{K_{n-1}} + K_{n-2} \quad\ffi\quad K_nK_{n-1} - K_{n-1}K_{n-2} = 1$$

Suma más de ellas conduce a la

$$K_nK_{n-1} = K_1K_0 + \sum_{k=2}^n (K_kK_{k-1}-K_{k-1}K_{k-2}) = 1 + (n-1) = n $$

Incluso para $n = 2k$, tenemos $$K_n = K_{2k} = K_0 \prod_{j=1}^k \frac{K_{2j}K_{2j-1}}{K_{2j-1}K_{2j-2}} = \prod_{j=1}^k \frac{2j}{2j-1} = \prod_{j=1}^k \frac{(2j)^2}{2j(2j-1)} = \frac{2^{2k} (k!)^2}{(2k)!}. $$ Por extraño $n = 2k+1$, tenemos $$K_n = K_{2k+1} = \frac{K_{2k+1}K_{2k}}{K_{2k}} = \frac{(2k+1)(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} = \frac{(2k+1)!}{2^{2k}(k!)^2}$$

Para los grandes a pesar de $n = 2k$, a Stirling aproximación nos dicen

$$K_{2k} = \frac{2^{2k}\left( \frac{k}{e}\right)^{2k}2\pi k}{\left(\frac{2k}{e}\right)^{2k}\sqrt{2\pi(2k)}}(1 + O(k^{-1})) = \sqrt{\pi k} + O(k^{-1/2}) $$ Junto con $K_{2k+1}K_{2k} = 2k+1$, se encuentra que para un gran $n$, $\displaystyle\;K_n^2 = \begin{cases} \frac{\pi}{2} n, & n \text{ even }\\ \frac{2}{\pi} n, & n \text{ odd } \end{casos} + O(1)$.

Nos deja cambiar la secuencia de $R_n$, la recurrencia de la relación $\displaystyle\;R_n = R_{n-1} + \frac{1}{R_{n-2}}$ nos dice si $R_{n-1}, R_{n-2}$ es positivo, por lo que no $R_n$. Desde $R_0 = R_1 = 1$ es positivo, todos los $R_n$ es positiva y $R_n$ es un aumento de la secuencia.

Aviso de $R_2 = 2$, y para todos los $n > 2$,

$$R_n^2 = \left(R_{n-1} + \frac{1}{R_{n-2}}\right)^2 = R_{n-1}^2 + 2\frac{R_{n-1}}{R_{n-2}} + \frac{1}{R_{n-2}^2} = R_{n-1}^2 + 2 + \frac{2}{R_{n-2}R_{n-3}} + \frac{1}{R_{n-2}^2}\etiqueta{*1} $$ Encontramos por $n > 2$, podemos enlazado $R_n^2$ desde abajo, como $$R_n^2 = R_2^2 + \sum_{k=3}^n \left( R_k^2 - R_{k-1}^2 \right) \ge 4 + \sum_{k=3}^n 2 = 4+2(n-2) = 2n$$

Por favor, tenga en cuenta que esta desigualdad $R_n^2 \ge 2n$ también es válido en $n = 2$. Ahora sustituye este límite inferior de la espalda a $(*1)$, se encuentra que para $n > 4$

$$\begin{align} R_n^2 - 2n &= \sum_{k=3}^n(R_k^2 - R_{k-1}^2 - 2) = \sum_{k=3}^n \left(\frac{2}{R_{k-2}R_{k-3}} + \frac{1}{R_{k-2}^2}\right)\\ &\le \sum_{k=3}^n \frac{3}{R_{k-3}^2} \le 6 + \sum_{k=5}^n \frac{3}{2(k-3)} = \frac{9 + 3H_{n-3}}{2} \end{align} $$ donde $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ $n^{th}$ número armónico.

Para un gran$n$,$H_n \approx \log n$. Como resultado,

$$R_n^2 = 2n + O(\log n)$$

Esto lleva a

$$\begin{align} \lim_{k\to\infty}\frac{R_{2k}^2}{K_{2k}^2} &= \lim_{k\to\infty}\frac{2(2k) + O(\log k)}{\frac{\pi}{2}(2k) + O(1)} = \frac{4}{\pi}\\ \lim_{k\to\infty}\frac{R_{2k+1}^2}{K_{2k+1}^2} &= \lim_{k\to\infty}\frac{2(2k+1) + O(\log k)}{\frac{2}{\pi}(2k+1) + O(1)} = \pi \end{align} $$

Es bastante cercana a lo que el OP tiene a excepción de los límites establecidos para los pares y los impares caso ha sido cambiado. He calculado las secuencias de $R_n$ $K_n$ a mí mismo y sus proporciones de acuerdo con el resultado aquí.