$y_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ Mostrar que $\lbrace y_n \rbrace$ es una secuencia decreciente

Question

Dada y_n $$ = \left (1 + \frac {1} {n} \right) ^ {n+1} \hspace {-6 mm}, \qquad n \in \mathbb{N}, \quad n \geq 1. $$ Muestran que $\lbrace y_n \rbrace$ es una secuencia decreciente. ¿Alguien puede ayudar? Considero la relación $\frac{y_{n+1}}{y_n}$ pero me quedé pegado.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \frac{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+2}} &=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}\\ &=\frac{n}{n+1}\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+2}\\ &=\frac{n}{n+1}\left(1+\frac1{n(n+2)}\right)^{n+2}\\ &\ge\frac{n}{n+1}\left(1+\frac{n+2}{n(n+2)}\right)\\ &=1 \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+2}\le\left(1+\frac1n\right)^{n+1} $$

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Del mismo modo, $$ \begin{align} \frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n} &=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\\ &=\frac{n+1}{n}\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\\ &=\frac{n+1}{n}\left(1-\frac1{(n+1)^2}\right)^{n+1}\\ &\ge\frac{n+1}{n}\left(1-\frac{n+1}{(n+1)^2}\right)\\ &=1 \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}\ge\left(1+\frac1n\right)^n $$

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En el anterior, hemos utilizado la Desigualdad de Bernoulli: para todos los $x\ge-1$ y un entero no negativo,$n$, $$ (1+x)^n\ge1+nx $$ Esto puede ser demostrado por inducción:

Tenga en cuenta que la desigualdad anterior es cierto para $n=0$.

Supongamos que $x\ge-1$ y para un entero no negativo,$n$, tenemos $$ (1+x)^n-nx\ge1 $$ Entonces $$ \begin{align} (1+x)^{n+1}-(n+1)x &=(1+x)^n-nx+x(1+x)^n-x\\ &\ge1+x((1+x)^n-1)\\ &\ge1 \end{align} $$ Si $-1\le x\le0$, $x$ $(1+x)^n-1$ son negativos. Si $x\ge0$, tanto en $x$ $(1+x)^n-1$ son positivos. Por lo tanto, si $x\ge-1$, $x((1+x)^n-1)\ge0$. Esto justifica la última desigualdad anterior.

Tenga en cuenta que si $x\ne0$$n\ge1$, la última desigualdad es estricta. Así, por $x\ne0$$n\ge2$, tenemos $$ (1+x)^n\gt1+nx $$

Answer 2

Creo que necesita algunas manipulaciones algebraicas básicas: $$\frac{y_{n}}{y_{n+1}}=\frac{(1+\frac{1}n)^{n+1}}{(1+\frac{1}{n+1})^{n+2}}$$ You can show that the latter fraction is equal to $$(1+\frac{1}{n^2+2n})^{n+1}\times\frac{1}{1+1/(n+1)}$$ But $$(1+\frac{1}{n^2+2n})^{n+1}\ge {1+1/(n+1)}$$ Note that if $x\ge-1$ then $ (1 + x) ^ n\ge 1 + nx. $

Answer 3

Si usted no se preocupa por nocivo el problema usted puede incluso hacer esto con cálculo, mostrando que el derivado en n es negativo. El derivado es $$ \frac{\left(\frac{1}{n}+1\right)^n (n+1) \left(n \log \left(\frac{1}{n}+1\right)-1\right)}{n^2}$ $ y por lo que sólo necesitamos mostrar $$1> n \log(1+\frac{1}{n})$ $ por sustitución $n=\frac{1}{x}$ tenemos $$\frac{\log(1+x)}{x}=\frac{\ln(1+x)-\ln(1)}{(x+1)-1}=\frac{1}{1+\xi}$ $ $\xi \in (0,x)$ (esto es concedido por el teorema del valor medio), y la última expresión es menor que 1.

Answer 4

Utilizar el criterio de la derivada primera y demostrar la función

$$ f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}\hspace{-6 mm},\qquad \quad x \geq 1, $$

está disminuyendo en $[1,\infty]$. Es prueba $f'(x)<0$ $[1,\infty]$.

Answer 5

Sugerencia: Intente utilizar la desigualdad de AM - G.M. para números positivos.