Probar que esta función es constante

Question

Deje $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ ser una función que es continua en a $x_0=1$ y que satisface$$f(x)=f(x^2-x+1), \: \forall \: x\in [0,1]$$ Demostrar que $f$ es constante.

Mi idea es conseguir tanto como sea posible a partir de la primera ecuación, finalmente, llegar a una cadena como $f(x)=...=f(\text{something})$, $\text{something}$ llegar a $1$ eventualmente, independientemente de $x$. De esta manera se podría aplicar la continuidad en $1$, lo que demuestra la demanda.

Con esto en mente, he hecho la sustitución $x \to 1-x$ y consiguió $$f(1-x)=f(x^2-x+1)=f(x), \: \forall \: x \in [0,1]$$ which means that it's enough to prove that $f$ is constant on $[0,\frac{1}{2}]$ and also gives $$f(x)=f(1-x)=f(x^2-x+1)=f(x-x^2), \: \forall \: x \in [0,1]$$ A partir de aquí, todo el tiempo, llegó de nuevo a uno de los $4$ términos arriba y me quedé atrapado...

Answer 1

Deje $g(x)=x^2-x+1$. Observe que para $x\in[0,1]$, $g(x)\geq x$. En particular, $$ g(x)-x=x^2-2x+1=(x-1)^2. $$ Puede usted demostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty}g^n(x)=1$ todos los $x\in[0,1]$? A continuación, $$ f(x)=f(g(x))=f(g^2(x))=\cdots=f(g^n(x)). $$ Entonces, desde el $f$ es continua en a $1$, $$ \lim_{n\rightarrow\infty}f(g^n(x))=f(1). $$

Sugerencias en mostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty}g^n(x)=1$: sabemos que $x,g(x),g^2(x),\dots$ es creciente y acotada de la secuencia. Por lo tanto, sabemos que tiene un límite. Supongamos que $L$ es el límite. Supongamos, por contradicción, que $L$ es de menos de $1$, se puede encontrar una contradicción? (Si $x_k$ es lo suficientemente cerca de a $L$, entonces se puede mostrar que el $x_{k+1}>L$?)

Answer 2

Consejos: Tome $x_0 \in [0, 1]$ y deje $x_{n+1} = x_n^2 - x_n + 1$. A continuación, $x_{n+1} \geq x_n$ (por qué?) y $f(x_{n+1}) = f(x_n)$. Además, $x_{n+1} \leq 1$, y en el hecho de que usted puede mostrar a $x_n \to 1$. Puede usted ver por qué esto demuestra su reclamo?