¿Existe una suryección continua desde $\Bbb R^3-S^2$ a $\Bbb R^2-\{(0,0)\}$ ?

Question

Demostrar o refutar : Existe una suryección continua desde $\mathbb{R}^3- S^2$ a $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ (aquí $S^2\subset \mathbb{R}^3$ denota la esfera unitaria definida por la ecuación $x^2+y^2+z^2=1$ ),.

---

Esta pregunta había aparecido en el examen TIFR GS-2018 para la admisión al doctorado. Cómo debo pensar en ese mapa?

Answer 1

Existe un mapa de este tipo:

• proyecto $\mathbb{R}^3 \setminus \mathbb{S}_2$ en $\mathbb{R}^2$ (proyección sobre las dos primeras coordenadas, por ejemplo);

• aplicar el mapa exponencial de $\mathbb{R}^2 \simeq \mathbb{C}$ en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \simeq \mathbb{C}^*$ .

Ambas son proyecciones continuas, por lo que su composición sigue siendo.

---

Dada la recompensa, creo que esto merece al menos algún material adicional (o: cómo que alguien encuentre esta respuesta). Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos espacios topológicos. Si no existe un mapa continuo suryectivo $f$ de $X$ a $Y$ entonces $X$ debe tener alguna propiedad que sea preservada por los mapas continuos, y que $Y$ no tiene. Resulta que no hay muchas propiedades de este tipo. En mi cabeza, las únicas generales que puedo ver son :

• Cardinalidad : Si Card(X) < Card(Y), entonces no hay tal $f$ . Ejemplo : $X = \{0\}$ , $Y = \{0,1\}$ .

• Compactación : Si $X$ es compacto y $Y$ es separable pero no compacto, entonces no existe tal $f$ . Ejemplo : $X = [0,1]$ , $Y = \mathbb{R}$ .

• Conectividad : Si $X$ está conectado y $Y$ no lo es, entonces no hay tal $f$ . En general, si $X$ tiene menos componentes conectados (en el sentido de la cardinalidad) que $Y$ entonces no hay tal $f$ . Ejemplo : $X = (0,1)$ y $Y = \mathbb{Z}$ .

Aunque, estoy seguro, se pueden encontrar ejemplos con otras obstrucciones menos evidentes. Fuera de estos, las cosas pueden volverse locas. Por ejemplo, en todos los casos siguientes, existe un mapa suryectivo continuo desde $X$ a $Y$ :

• $X = C$ cualquier conjunto de Cantor, y $Y$ es cualquier espacio métrico compacto .

• $X=[0,1]$ y $Y = [0,1]^2$ : Curva de Peano.

• De manera más general, $X = \mathbb{R}$ y $Y = \mathbb{R}^n$ con $n \geq 1$ utilizando variantes de la curva de Peano.

• $X = \mathbb{R}^k$ y $Y = \mathbb{R}^n$ con $k \geq n$ utilizando proyecciones. Combinando con el ejemplo anterior, obtenemos todo $k \geq 1$ y $n \geq 0$ .

• $X = \mathbb{R}^k$ y $Y$ es un (separable) conectado, $n$ -de una variedad topológica, con $k \geq 1$ . Esto no es fácil de formalizar y no tengo ninguna referencia a mano, pero la idea básica es tomar $k=n$ y hacer $\mathbb{R}^n$ una cinta adhesiva fina y envolverla alrededor del colector (véase, por ejemplo esta discusión relacionada ). También creo que se puede sustituir $X$ por cualquier no-compacto $k$ -de las dimensiones.

Con eso, tenemos las herramientas para responder a la pregunta. En primer lugar, ya que $X$ ha dimensión $3$ y $Y$ tiene dimensión $2$ reducimos la dimensión mediante la proyección. Obtenemos el plano $\mathbb{R}^2$ . A continuación, envolvemos el plano alrededor del origen en $\mathbb{R}^2$ y estamos de suerte, ya que esto se puede hacer de forma muy explícita (gracias al mapa exponencial).