La diferenciación de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)3^n}x^{n+1}$

Question

Deje $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)3^n}x^{n+1}=x+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{27}+\frac{x^4}{108}+\cdots$$

La pregunta me pidió usar el conocimiento de la serie para calcular $f'(2)$.

¿Cómo debo resolver? No sólo diferenciar cada término y sustituirlo $2$?

Answer 1

Sí, esa puede ser una forma. Usted recibirá una progresión geométrica:

$$f'(x) = 1+ \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \frac{x^3}{27} ...$$

Por lo $f'(x) = \frac{1}{1-x/3}$ o $f'(2) = 3$.

Answer 2

$$\begin{align} f(x)&=\sum_{n=0}^\infty\frac 1{(n+1)3^n}x^{n+1}\\ f'(x)&=\frac d{dx}\sum_{n=0}^\infty\frac 1{(n+1)3^n}x^{n+1}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac d{dx}\frac 1{(n+1)3^n}x^{n+1} &&\text{(by Fubini/Tonelli's theorem)}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac 1{(n+1)3^n}\cdot (n+1)x^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac x3\right)^n\\ &=\frac 1{1-\frac x3}\\ \therefore f'(2)&=3 \end{align}$$

Answer 3

$$-f(x)/3=\ln(1-x/3)$$ for $-1\le x/3<1$