Polinomios con ceros racionales

Question

Encontrar todos los polinomios $F(x)={a_n}{x^n}+\cdots+{a_1}x+a_0$ satisfactorio

• $a_n \neq0$;
• $(a_0, a_1, a_2, \ldots ,a_n)$ es una permutación de $(0, 1, 2 ... n)$;
• todos los ceros de $F(x)$ son racionales.

Answer 1

La lista completa de tales polinomios es

$$x, \quad 2x^2+x, \quad x^2+2x, \quad 2x^3+3x^2+x, \quad x^3+3x^2+2x.$$

Ahora podemos probar esto. La primera observación a realizar es que para un polinomio de satisfacer su hipótesis, todas las raíces racionales son no positivos, y que $0$ se produce como una raíz en la mayoría de los una vez y sólo si el término constante es $0$. La segunda es que por Descartes' regla de los signos, el término constante del polinomio debe ser cero (de lo contrario no sólo se $n-2$ signo de los cambios en la secuencia de coeficientes de $F(-x)$; no es suficiente para dar cuenta de $n-1$ racionales negativos raíces).

Así que ahora nos vamos a $g(x)=F(x)/x$. Los coeficientes de $g(x)$ son una permutación de los números de $1,2,\dots,n$, y todas las raíces de $g$ son negativos los números racionales con denominadores dividiendo $a_n$. Si $n=1$ obviamente $g(x)=1$ y no hay nada que demostrar. A partir de ahora suponemos $n>1$. Nos factor de $$g(x)/a_n=(x+r_1)(x+r_2) \cdots (x+r_{n-1})$$ where $r_1,r_2,\dots,r_{n-1}$ are positive rational numbers, each of the form $r_i=m_i/a_n$ for positive integers $m_i$. In particular we have $r_i \geq 1/a_n$ and hence $$r_1+r_2+\cdots+r_{n-1} \geq \frac{n-1}{a_n}.$$ Desde $$g(x)/a_n=x^{n-1}+\frac{a_{n-1}}{a_n} x^{n-2}+\cdots $ $ , obtenemos $$\frac{n-1}{a_n} \leq r_1+r_2+\cdots+r_{n-1}=\frac{a_{n-1}}{a_n}$$ and hence there are only two possibilities: $a_{n-1}=n-1$ or $a_{n-1}=$ n.

En el caso de $a_{n-1}=n-1$, nos encontramos con que $r_i=1/a_n$ todos los $i$, y por lo tanto $$g(x)=a_n(x+1/a_n)^{n-1}.$$ If $n>2$ the constant term of this polynomial can be an integer only if $a_n=1$, so $g(x)=(x+1)^{n-1}$. But for $n>1$ this polynomial has constant term equal to its leading coefficient, contradiction. Thus $n=2$ and $g(x)=2(x+1/2)$, so that $xg(x)$ es uno de los grados de dos polinomios en nuestra lista de arriba.

Queda por considerar el caso de $a_{n-1}=n$. En este caso, $n-2$ de las raíces $r_i$ son de la forma$1/a_n$, y el otro es $2/a_n$. Así $$g(x)=a_n(x+1/a_n)^{n-2}(x+2/a_n).$$ The constant term of $g(x)$ es $$a_1=\frac{2}{a_n^{n-2}}.$$ This is an integer only if $a_n=1$ or $a_n=2$ and $n$ is $2$ or $3$. These last two cases correspond to $g(x)=2(x+1)$, contradicting our hypothesis, and $g(x)=2(x+1/2)(x+1)$, for which $x g(x)=2x^3+3x^2+x$, un polinomio en nuestra lista.

Por fin estamos reducido para el caso de $a_n=1$ y $$g(x)=(x+1)^{n-2}(x+2).$$ Now the coefficient of $x$ in $g(x)$ is $1+2(n-2)$. For $n \geq 4$ we have $$1+2(n-2)=1+2n-4 \geq 1+n > n,$$ contradiction. Thus $n \leq 3$. The polynomials $x (x+2)$ and $x(x+1)(x+2)$ aparecer en nuestra lista por lo que se hace.