Mapa inducido por $O(n)\hookrightarrow U(n)$ en los grupos de homotopía

Question

Hay una inclusión de $O(n)\hookrightarrow U(n)$ que considera un $n\times n$ ortogonal de la matriz como una matriz unitaria. Es también un teorema, llamado a veces de periodicidad de Bott, que tenemos las siguientes homotopy grupos:

$\pi_{4i-1}(O(n)) = \mathbb{Z}$ $\pi_{4i-1}(U(n))=\mathbb{Z}$

para $n$ grandes, decir $n>2(4i +1)$. Mi pregunta es: ¿Cuál es la inducida por el mapa de $\pi_{4i-1}(O(n))\rightarrow \pi_{4i-1}(U(n))$? Es un mapa de$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$, por lo que debe ser la multiplicación por un número entero, sino que se entero de que es?

La única cosa que sé que podría ayudar es que el mapa de $O(n)\hookrightarrow U(n)$ induce un mapa sobre la clasificación de los espacios de $BO(n)\rightarrow BU(n)$. Uno puede pensar en este mapa como una inclusión real de un grassmannian en un complejo grassmannian, pero el mapa en homotopy grupos parece tan misterioso.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

He tenido esta pregunta a mí mismo hace un par de días y se encontró a esta pregunta, pero ahora tengo una respuesta con un toque de mi supervisor.

La clave parece estar en un teorema (3.2) en 'Homotopy teoría de la Mentira de los Grupos por Mimura, que se puede encontrar en el Manual de la Topología Algebraica. El teorema da una débil homotopy equivalencia

$$BO\rightarrow \Omega (SU/SO) .$$

Esto es suficiente para nuestras necesidades, ya que hay isomorphisms

$$\pi_i(O)\cong\pi_i(SO) \mbox{ and } \pi_i(U)\cong\pi_i(SU)$$

para $i>2$. Observe que estos homotopy grupos son los mismos que $U(n)$ o $O(n)$ en los intervalos especificados.

Ahora hay un fibration $$ SO\overset{f}{\rightarrow} SU \rightarrow SU/SO$$ y $f$ va a inducir el mismo mapa en $\pi_i$$i>2$. Debido a que el resultado a largo de la secuencia exacta de homotopy grupos, estamos obligados a trabajar fuera de $\pi_i(SU/SO)$, pero por el teorema, tenemos $$\pi_i(SU/SO)\cong \pi_{i-2}(O).$$

Voy a dejar los detalles para usted, sino para todos los $k$, obtenemos $\pi_{3+8k}(O) \rightarrow \pi_{3+8k}(U) $ es la multiplicación por 2 y $\pi_{7+8k}(O)\rightarrow \pi_{7+8k}(U)$ es un isomorfismo.

Answer 2

He aquí una aproximación más conceptual. Desde sólo estás preguntando sobre el rango estable, vamos a trabajar con los grupos estables $O$$U$. Será más conceptuales a considerar, en lugar del mapa de $O \to U$, el mapa correspondiente

$$\mathbb{Z} \times BO \to \mathbb{Z} \times BU$$

desde el espacio de la representación real de la K-teoría del espacio de representación complejo K-teoría, entre otras cosas porque no nos tenemos que restar $1$. Este mapa representa el functor el envío de un verdadero vector paquete a su complejización, y, en particular, induce un isomorfismo en $\pi_0$ porque envía un $1$-dimensiones reales del vector paquete por encima de un punto a a un $1$-dimensiones vectorial complejo paquete de más de un punto. Este mapa es compatible con Bott periodicidad en ambos lados en que la toma de las $8$veces bucle espacio de ambos lados da el mismo mapa de nuevo, así que llegamos a la conclusión de que los mapas

$$\pi_{8k}(\mathbb{Z} \times BO) \to \pi_{8k}(\mathbb{Z} \times BU)$$

son todos isomorphisms.

Bueno, entonces, ¿qué acerca de la inducida por los mapas en $\pi_{8k+4}$? Aquí tomamos $4$veces bucle de espacios, obteniendo un mapa

$$\mathbb{Z} \times BSp \to \mathbb{Z} \times BU$$

donde $\mathbb{Z} \times BSp$ es el espacio que representa quaternionic K-teoría (es parte de la declaración completa de periodicidad de Bott para describir explícitamente todas las bucle espacios de $\mathbb{Z} \times BO$, y este es el cuarto).

Uno podría pensar, y resulta ser verdadero (basado en algunos hechos triviales acerca de una particular manera de representar reales y complejos K-teoría), que este mapa representa el olvidadizo functor el envío de un quaternionic vector paquete a su subyacente vectorial complejo paquete (con respecto a algunas de inclusión $\mathbb{C} \to \mathbb{H}$): en particular, se envía un $1$-dimensiones quaternionic vector paquete por encima de un punto a a un $2$-dimensiones vectorial complejo paquete de más de un punto, así que la inducida por el mapa en $\pi_0$ es la multiplicación por $2$. Este mapa es de nuevo compatible con Bott periodicidad en ambos lados, y de nuevo, teniendo en $8$veces bucle de espacios en ambos lados da que los mapas

$$\pi_{8k+4}(\mathbb{Z} \times BO) \to \pi_{8k+4}(\mathbb{Z} \times BU)$$

son todos multiplicación por $2$.

Escondiéndose detrás de este argumento es un trivial de la relación entre lo real y lo complejo de la K-teoría y reales y complejos, álgebras de Clifford que no sé una buena referencia.