Elaboración de una pregunta de bola

Question

Supongamos que dibujamos 3 bolas sin reemplazo de una urna con 2 rojo, 2 verde y 2 bolas azules.

¿Cómo puedo encontrar la probabilidad de cada 0 roja, 1 roja y 2 rojo? Sé el número del espacio de muestra es 120 (llamamos bolas de 3 y 6 bolas en total, sería 6 * 5 * 4). Pero no estoy seguro de cómo llegar 0 probabilidad rojo y 1 rojo pro. y 2 prob. roja ¿Alguien por favor me puede ayudar?

Answer 1

En este problema, lo único que nos importa es si una pelota es roja o no. Es más fácil imaginar que son de color verde-azul ciego, y que no se $2$ bolas rojas y $4$ sin bolas rojas.

El $120$ elemento del espacio muestral que haya elegido trabajo, pero creo que no es la mejor opción. Primero hacemos el problema utilizando una muestra diferente de espacio, y en un comentario al final vamos a resolver una parte del problema mediante su $120$ elemento del espacio muestral.

Estamos dibujo (extracción) $3$ bolas de la urna. Imaginar la eliminación de todas a la vez, o alternativamente, de una en una, pero sólo mirando a ellos en la final. Luego hay $\binom{6}{3}$ resultados posibles, todos igualmente probables.

¿Cuántos de estos resultados resultado en $0$ bolas rojas? Debemos tener elegida $3$ bolas de las $4$ no las bolas de color rojo (y ninguno de los rojos). Hay $\binom{4}{3}$ maneras de hacer esto. Por lo que la probabilidad de $0$ rojo es $$\frac{\binom{4}{3}}{\binom{6}{3}}.$$

Lo siguiente que queremos calcular la probabilidad de $1$ rojo. La bola roja puede ser elegido en $\binom{2}{1}$ maneras. Para cada elección, la necesidad de $2$ no-rojos puede ser elegido en $\binom{4}{2}$ formas, para un total de $\binom{2}{1}\binom{4}{2}$. Por lo que la probabilidad de $1$ rojo es $$\frac{\binom{2}{1}\binom{4}{2}}{\binom{6}{3}}.$$ Un argumento similar muestra que la probabilidad de $2$ rojo es $$\frac{\binom{2}{2}\binom{4}{1}}{\binom{6}{3}}.$$ El $\binom{2}{2}$ en la expresión anterior es superfluo, pero se ve bien. En forma similar, para $0$ rojo, podríamos haber escrito el numerador como $\binom{2}{0}\binom{4}{3}$.

Comentario: es posible resolver el problema mediante el uso de su espacio muestral de $120$. Sin embargo, las cosas se vuelven un poco más complicadas. Por ejemplo, vamos a resolver el $1$ rojo problema utilizando el $120$ elemento del espacio muestral, donde el orden de selección de los asuntos. A continuación, $1$ rojo puede ocurrir en tres patrones básicos: (i) RNN; (ii) RRN; y (iii) NNR. (Aquí R significa rojo, N significa que no es rojo).

De cuántas formas se puede obtener un tipo de (i) el patrón? La inicial de red puede ser elegido en $2$ maneras, a continuación, el primer no-rojo en $4$ maneras, a continuación, la segunda en $3$ formas, para un total de $(2)(4)(3)=24$. Los números de los otros dos patrones también resultan ser $24$, por lo que el número total de opciones, donde el orden de los asuntos, es $(3)(24)$. Dividir por $120$ para obtener la probabilidad. Llegamos $(3)(24)/120$, que se simplifica a $3/5$.

Anteriormente, habíamos obtenido la expresión $\frac{\binom{2}{1}\binom{4}{2}}{\binom{6}{3}}$ para la probabilidad de $1$ rojo. Calcular. Llegamos $(2)(6)/20$, que se simplifica a $3/5$.

Usted puede pensar que el espacio muestral de $120$ enfoque es más simple, y es una buena ocasión para reclamar que. Sin embargo, en los más complicados problemas de muestreo, el coeficiente binomial enfoque que hemos utilizado resulta ser a menudo más útil.