Series - calculo de Apostol Vol I, sección 10.20 #24

Question

Estoy teniendo un montón de problemas con estas series de preguntas. Hasta este punto, yo había relativamente pocos problemas con todas las preguntas en el libro. Estos parecen requerir de conocimientos acerca de las aproximaciones de funciones y otras externas de conocimiento basado en la experiencia, que no tengo todavía.

Determinar la convergencia o divergencia de la serie. En el caso de convergencia, determinar si la serie converge absolutamente o condicionalmente.

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left[e-\left(1+\frac 1 n \right)^n\right]$$

Es fácil ver que

$$\lim_{n\to\infty}\left[e-\left(1+\frac 1 n\right)^n\right]=0$$

sin embargo, con el fin de aplicar la Regla de Leibniz y mostrar la convergencia condicional necesito mostrar que la sucesión es monótona decreciente. Esto no parece factible con la recta de las desigualdades, así que traté de tomar la derivada, lo que resultó en un uninterpretable lío. Esto ni siquiera comenzar a abordar la cuestión de absoluta convergencia/divergencia.

Hay 54 de estas preguntas... me debe faltar algo realmente fundamental si todos asumen este tiempo.

Answer 1

Con esto, me gustaría aplicar la Regla de Leibniz. Para ello, me gustaría demostrar que $(1 + \frac{1}{n})^n$ es monótonamente creciente. Hay muchas maneras de hacer esto, y yo te daré uno (mi favorito de los que he visto).

Tenga en cuenta que $\dfrac{b^{n+1} - a^{n+1}}{b-a} < (n+1)b^n$ al $b > a \geq 0$

Esto significa que $b^n [ (n + 1)a - n b] < a^{n+1}$ (sólo reorganizar).

A continuación, establezca $b = 1 + \frac{1}{n}$$a = 1 + \frac{1}{n+1}$, y tenemos la deseada desigualdad.

Puede que no sea el caso de que le falta de nada, la verdad. Su intuición para el uso de la regla de Leibniz es una muy buena nota también de que en esta sección, no es una generalización de la regla de Leibniz que es super útil. A veces, uno debe hacer muy ingenioso cosas para obtener a través de una pregunta - si todo fuera simple aritmética, que, en realidad, no sería digno de estudio o diversión, sabes?

Answer 2

Es fácil demostrar que $(1+\frac{x}{n})^n$ está aumentando para todos $x>0$:

$$\begin{align} \frac{(1+\frac{x}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{x}{n})^n} &= (1+\frac{x}{n})\left(\frac{1+\frac{x}{n+1}}{1+\frac{x}{n}}\right)^{n+1} \\\\ &= (1+\frac{x}{n})\left(\frac{n(n+1)+nx}{(n+1)(n+x)}\right)^{n+1} \\\\ &= (1+\frac{x}{n})\left(\frac{(n+1)(n+x)-x}{(n+1)(n+x)}\right)^{n+1} \\\\ &= (1+\frac{x}{n})\left(1-\frac{x}{(n+1)(n+x)}\right)^{n+1} \\\\ &> (1+\frac{x}{n})(1-\frac{x}{n+x}) = \frac{n+x}{n} \frac{n}{n+x} = 1. \end {Alinee el} $$

Answer 3

$$\begin{align} (1+1/n)^n &= \exp(n ln(1+1/n)) \\ &= \exp(n(1/n - 1/2n^2 + O(1/n^3)) \\ &= \exp(1-1/2n+O(1/n^2) \\ &= e \exp(-1/2n+O(1/n^2)) \\ &= e(1-1/2n+O(1/n^2)) \\ &= e-e/2n+O(1/n^2) \end {Alinee el} $$ % que $$e - (1+1/n)^n = e/2n + O(1/n^2).$$

Sustitución, $$ \sum_{n=1}^\infty (-1) ^ n\left [e-\left(1+\frac 1 n \right)^n\right] = \sum_{n=1}^\infty (-1) ^ n \left (e/2n + O(1/n^2) \right). $$

Desde $\sum 1/n$ diverge, la serie converge, pero no absolutamente.

Las estimaciones pueden hacerse más precisa y rigurosa, pero me siento perezoso.

Answer 4

Creo que tengo una respuesta absoluta divergencia:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{e-(1+\frac 1 n )^n}{\frac 1 n}=\lim_{x\to 0^+} \frac{e-(1+x)^\frac 1 x}{x}=-\lim_{x\to0^+}\frac{(1+x)^\frac 1 x\left[\frac x {1+x}-\log(1+x)\right]}{x^2}$$

Ahora ayuda a romper los límites un poco.

$$\lim_{x\to0^+}(1+x)^\frac 1 x=e$ $ Así que ahora nos centramos en $$\lim_{x\to0^+} \frac{\frac x {1+x}-\log(1+x)}{x^2}=\lim_{x\to0^+} \frac{\frac 1 {(1+x)^2}-\frac 1 {1+x}}{2x}=\lim_{x\to0^+}\frac{-x}{2x(1+x)^2}$ $ $$=\lim_{x\to0^+}\frac{-1}{2(1+x)^2}=\frac{-1}{2}$ $ ahora ponerlo todos juntos nuevamente, $$\lim_{n\to\infty}\frac{e-(1+\frac 1 n )^n}{\frac 1 n}=\frac e 2$ $, por el teorema de comparación de límite, la serie diverge (absolutamente).