Nociones básicas de categorificación

Question

En este post de Juan Báez define un categorification de un conjunto $S$ como un mapa $$ p:\DeclareMathOperator{Decat}{Decat}\Decat(\mathscr C)\S $$ donde $\Decat(\mathscr C)$ es el conjunto de clases de isomorfismo de una categoría $\mathscr C$. Él menciona que también hay una noción de categorifying un mapa entre conjuntos. Qué es exactamente lo que es esta idea?

Mi conjetura es que un categorification de un mapa entre los conjuntos de $f:X\to Y$ es un diagrama conmutativo $$ \begin{array}{ccc} \DeclareMathOperator{Ob}{Ob}\Ob(\mathscr C) & \xrightarrow{\Ob(F)} & \Ob(\mathscr D) \\ \scriptsize{u}\downarrow & &\downarrow \\ X & \xrightarrow{f} & Y \end{array} $$ donde $u$ es un bijection, $F:\mathscr C\to\mathscr D$ es un functor, y $\Ob:\mathsf{Cat}\to\mathsf{Set}$ el más evidente es el functor. Es la "correcta" noción? También, hay introductorio referencias en categorification?

Answer 1

Si $S$ tiene un % de categorificación $\mathrm{Decat}(\mathcal{C}) \to S$y $T$ tiene un % de categorificación $\mathrm{Decat}(\mathcal{D}) \to T$, un categorificiation de un mapa $S \to T$ es un functor $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ tal que el mapa inducido $\mathrm{Decat}(\mathcal{C}) \to \mathrm{Decat}(\mathcal{D})$ hace el diagrama $$\begin{array}{cc} \mathrm{Decat}(\mathcal{C})& \rightarrow & \mathrm{Decat}(\mathcal{D}) \\ \downarrow && \downarrow \\ S & \rightarrow & T \end{array}$ $ conmutativa.

Ejemplo. El mapa $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $(x,y) \mapsto x+y$ categorifies al functor $\mathsf{FinSet} \times \mathsf{FinSet} \to \mathsf{FinSet}$, $(X,Y) \mapsto X \coprod Y$.