Como otros han señalado, no es muy claro lo que es una enseñanza formal, la no-tautologous significado de la equivalencia de los dos teoremas (es decir, la verdad de los enunciados matemáticos) sería. A menudo cuando dos teoremas se dice que es "equivalente" significa en la teoría de los axiomas más débil que el conjunto completo de la norma: por ejemplo, en este sentido, el buen orden Teorema es equivalente al Axioma de Elección, mientras que el teorema de que cada filtro puede ser extendido a un ultrafilter es estrictamente más débil que el Axioma de Elección. Pero aquí tenemos dos teoremas relativos a sólo finitos de estructuras, por lo que es difícil para mí creer que hay algún conjunto teórico cuestiones o distinciones que se plantean aquí.
Sin embargo, hay un común informal significado de la equivalencia del Teorema con el Teorema B. por lo general, cuando la gente dice esto quiere decir que es más fácil probar que "Teorema $\implies$ Teorema B" y "Teorema de B $\implies$ Teorema" que para probar Un Teorema o Teorema B. Por ejemplo, en este sentido, el Primer Número Teorema es equivalente al teorema de que la $n$th prime $p_n$ es asintótica a $n \log n$, mientras que el Primer Número es el Teorema no es equivalente a la afirmación de
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_n} = \infty$: es más fuerte.
En el sentido del párrafo anterior, estoy tentado a decir que del Teorema de Cauchy es no equivalente a la del Teorema de Sylow. Tenga en cuenta que del Teorema de Sylow como tú han escrito implica inmediatamente del Teorema de Cauchy. Por alguna razón, es más común el de "estado de Sylow del Primer Teorema" como la afirmación de que si $p^a \ | \ \# G$$p^{a+1} \nmid \# G$, entonces existe un subgrupo de orden $p^a$. En esta forma el resultado no inmediatamente implica que existen subgrupos de todos los órdenes de $p^k$ $p^k$ un primer poder dividiendo $\# G$ a pesar de la deducción de este es bastante fácil en comparación con la prueba de Sylow del Teorema se deduce fácilmente del hecho de la $p$-grupos han trivial centros que lo contrario de Lagrange del Teorema vale para $p$-grupos. Tomando $a = 1$ recuperamos del Teorema de Cauchy.
Por otro lado, a sabiendas de Cauchy Teorema no parece ser particularmente útil en la demostración del Teorema de Sylow. Hay algunas pruebas que comenzar por el establecimiento de Cauchy Teorema (tal vez solo para finitos conmutativa grupos), pero a mí no parece sensiblemente más corto o más simple que el que establecer Sylow del Teorema de "partir de cero" (por ejemplo, Wielandt la prueba con el grupo de acciones). Sé de al menos uno realmente fácil prueba de Cauchy Teorema: la famosa prueba de James McKay. En los dos teoremas equivalente, no tendría que ser una prueba de Sylow del Teorema de la concesión del Teorema de Cauchy que no es más que McKay de la prueba, y nunca he visto eso.
Sin embargo, este reciente libro de Geoff Robinson viene más cerca que cualquier otro que he visto para dar un "McKay nivel de" prueba de Sylow del Teorema. Él utiliza un ingenioso argumento de inducción, pero la concesión de algunos (realmente fácil, en mi opinión) grupo preliminar de la teoría de resultados sale muy corto y dulce. Parece ser de alguna importancia que la prueba de la "más fuerte" formulario de Sylow del Primer Teorema mencionado anteriormente: es decir, la existencia de subgrupos de toda la energía primaria órdenes dividiendo $\# G$, no sólo el más grande tal fin. Poniendo esto en el "fuerte" hipótesis de inducción es una gran parte de la prueba. (En última instancia de Robinson argumento se reduce a la declaración del Teorema de Sylow en un número finito cíclico grupo, donde es evidente.) Me hace pensar que podría tratarse de un "error" que el estándar de la declaración de Sylow del Teorema es ligeramente más débil, como el más fuerte es no sólo más fuerte, pero parece más fácil de probar!
