Distribución de un máximo

Question

Seleccionar aleatoriamente $n$ números de ${\{1,2,\dots,m\}}$ sin reemplazo, y el orden de los elementos elegidos cada vez más: $X_1 < X_2 < \dots < X_n$

Y podemos ver cada una de las $X_i$ como una variable aleatoria, y podemos obtener $\mathbb{E}(X_i) = \frac{(m+1)i}{n+1}$

Y podemos definir $Y_i=|X_i-\mathbb{E}(X_i)|$ que es la distancia de cada variable con respecto a su correspondiente expectativa.

Y también podemos definir la $Z = \max_{1 \le i \le n} Y_i$

Entonces, ¿cuál es la distribución de $Z$?

[Actualizado]

Cualquier obligado de $Z$ es útil.

[Actualizado] He re-enviado a la pregunta en Mathoverflow: http://mathoverflow.net/questions/78822/distribution-of-a-maximum

A la gente no le dio algunas ideas nuevas.

Answer 1

Esta respuesta direcciones de su actualización "Cualquier obligado de $Z$ es útil." No da la distribución de probabilidad de $Z$.

Fijo $m$$n$$n < m$, tenemos $$Z \leq n \left(\frac{m+1}{n+1}-1\right),$$ and for fixed $m$, where $n$ is allowed to range over all possible values from $1$ to $m$, we have $$Z \leq \left(\sqrt{m+1}-1\right)^2.$$

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Para la primera desigualdad, vamos a $m$ $n$ se fija con $n < m$. Por lo $\frac{m+1}{n+1} > 1$. Por lo tanto el valor máximo posible de $\left|X_i - \frac{(m+1)i}{n+1}\right|$ se produce por uno de los valores extremos en un extremo en la dirección que se muestra. En otras palabras, el valor más grande posible de $Z$ se produce con $Y_n$ cuando la muestra $\{1, 2, \ldots, n\}$ es elegido o con $Y_1$ cuando la muestra $\{m-n+1, m-n+2, \ldots, m\}$ es elegido. Por simetría, estos dos valores deben ser iguales, y que es el caso: En el primer ejemplo, tenemos $Y_n = \left|n - \frac{(m+1)n}{n+1}\right| = n \left(\frac{m+1}{n+1}-1\right)$, y en el segundo ejemplo tenemos $Y_1 = \left|m-n+1 - \frac{m+1}{n+1}\right| = (m+1)\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) - n = n \left(\frac{m+1}{n+1}-1\right).$ $Z \leq n \left(\frac{m+1}{n+1}-1\right).$

Para ver la segunda desigualdad, sólo tiene que utilizar el cálculo de maximizar la expresión $f(n) = n\left(\frac{m+1}{n+1}-1\right)$. Tenemos que $f(n)$ se maximiza cuando se $n = \sqrt{m+1}-1$, y por lo tanto $Z \leq \left(\sqrt{m+1}-1\right)^2$.

Como una ilustración de este último resultado, considerar el número de trabajos publicados por Sasha. Los mayores valores de $Z$ ocurren en las parcelas para las que $n$ es la más cercana a $\sqrt{m+1}-1$.

Answer 2

La suya es una interesante pregunta, pero muy simple de responder. El siguiente es no una respuesta a su pregunta, sino que se da a ofrecer cierta penetración en la distribución.

Corrí varias simulaciones para obtener una idea acerca de la distribución de $Z$. Hice eso $m=100$ $m=50$ para diferentes valores de $1 \le n < m$.

El código utilizado para simular los histogramas es como sigue:

MathSE73091Histogram[m_Integer, n_Integer, samples_Integer, 
  opts : OptionsPattern[ListPlot]] := 
 Module[{means = (m + 1)/(n + 1) Range[n], data, omega = Range[m]},
  data = Tally[
    Table[Max@Abs[Sort[RandomSample[omega, n]] - means], {samples}]];
  data[[All, 2]] /= Total[Part[data, All, 2]];
  ListPlot[data, opts]
  ]

Answer 3

Esta es una respuesta parcial a un problema análogo. Suponga que los números son elegidos de forma independiente y de manera uniforme en el intervalo continuo $[0,m]$. A continuación, $\mathrm E(X_i)=x_i$ $x_i=im/(n+1)$ por cada $1\leqslant i\leqslant n$.

Por lo suficientemente pequeño como valores de $z$, $[Z\leqslant z]$ se dio cuenta de si y sólo si cada intervalo de $[x_i-z,x_i+z]$ contiene exactamente un valor de la muestra. Más precisamente, estos intervalos son distintos para cada $z\leqslant z_*=m/(2(n+1))$ y, para tales valores de $z$, $\mathrm P(Z\leqslant z)=n!(2z/m)^n$.

Por lo tanto, la densidad de la distribución de $Z$ en el intervalo de $(0,z_*)$$f(z)=n!n(2/m)^nz^{n-1}$. La situación de los más grandes valores de $z$ es más complicado.