¿La intersección arbitraria de subconjuntos compactos es compacta?

Question

Estoy revisando el teorema de la compacidad de un punto en la Topología de Munkres. Sea $Y$ la supuesta compactificación de un punto de un espacio de Hausdorff localmente compacto $X$. Entonces la unión arbitraria de conjuntos del tipo $Y - C$ donde $C$ es un subespacio compacto de $X$ es otro conjunto de ese tipo. En símbolos

$$ \cup (Y - C_{\beta}) = Y - (\cap C_{\beta}) $$

Entonces, ¿las intersecciones arbitrarias de conjuntos compactos son compactas en este contexto y cómo?

Edición. Dado que $\cap C_{\beta}$ es cerrado, al ser una intersección arbitraria de compactos (por ende cerrados en un espacio de Hausdorff), elige cualquier $C_{\alpha}$ entonces $\cap C_{\beta}$ es un subconjunto cerrado de un espacio compacto $C_{\alpha}$ y por lo tanto también es compacto.

Answer 1

Sea $\{U_i\}_{i\in I}$ un recubrimiento abierto de $\bigcap_{\beta\in B} C_\beta$. Entonces $\{U_i\}_{i\in I}\cup\{Y-C_\beta\}_{\beta\in B}$ es un recubrimiento abierto de cualquier $C_{\beta_0}$ fijo (de hecho cubre $Y$), por lo tanto hay un subrecubrimiento finito para $C_{\beta_0}$ y también para $\bigcap C_\beta$. Notar que cualquier $Y-C_\beta$ puede ser excluido de este subrecubrimiento.