En análisis real contemporáneo utilizamos una definición de límite en términos de deltas y epsilons. Antes de eso, la gente utiliza infinitesimales para calcular límites.
Hay una razón no-filosófica específica ¿por qué no mantenemos sobre el uso de infinitesimales? Es decir, ¿hay ejemplos concretos en los que el uso de los infinitesimales llevar a problemas serios?
Antes de la formalización de límite en términos de $\epsilon $ $\delta $ los argumentos dados en el análisis heurístico, simplemente porque en el momento no se conoce ningún modelo de reales con infinitesimals era conocido. La gente solía infinitesimals intuitivamente, a pesar de que sabía que no infinitesimals existido (al menos para ellos, en el tiempo). El hecho de que (correcto, en cualquier sentido) uso de infinitesimals no conducen a ninguna meteduras de pata fue un poco de un extraño fenómeno. Una vez Cauchy formalizado los límites de uso de $\epsilon $ $\delta $ se hizo posible para eliminar cualquier tipo de infinitesimals de las pruebas. Uno todavía podría pensar infinitesimalmente, o no, pero finalmente se pudo dar pruebas rigurosas.
Las cosas cambiaron cuando Robinson descubrió una construcción, mediante herramientas de lógica que eran nuevos en el tiempo, por los cuales uno puede agrandar los reales para incluir real infinitesimals. Retrospectivamente, este descubrimiento explica por qué infinitesimals no dar lugar a errores. Simplemente, ya que no existen!
Hoy inercia dicta un primer encuentro con el análisis, y así no estándar de análisis es generalmente conocido nunca, hasta que uno se topa con él o en cursos avanzados, por lo general en la lógica de análisis. Habiendo dicho eso, hay libros de texto dirigidos a principiantes, curso de cálculo uso no estándar de análisis. Probablemente hay dos razones por las que es poco probable para coger impulso. La primera es el nombre; en realidad nadie quiere hacer las cosas no de forma estándar. En segundo lugar, y más importante aún, los requisitos previos para Cauchy del $\epsilon $ $\delta $ el formalismo es muy modesto. Sin embargo, incluso el más simple de los modelos no-estándar de análisis requieren una gran dosis de lógica, uno que se va a tomar una semana o dos en menos de un principiante. Y ya no estándar de análisis es tan poderoso como el ordinario de análisis, es difícil justificar la puesta en la lógica(al) esfuerzo, por lo que muchos pueden considerar para ser sólo estética de ganancia. Algunos, a pesar de estar en desacuerdo y reclamar la no-estándar de análisis es superior.
Las objeciones a infinitesimals fueron metafísica. El Volumen 14 de la Encyclopædia Britannica de 1911 dice:
El nombre de "infinitesimal" se ha aplicado para el cálculo porque la mayoría de los principales resultados que se obtuvieron las primeras por medio de argumentos acerca de "infinitamente pequeño" cantidades; el "infinitamente pequeño" o "infinitesimal" cantidades eran vagamente concebido como ni cero ni finito, pero en algunos intermedios, nacientes o evanescente, estado. No había ninguna necesidad de que este confundido concepción, y llegó a ser entendido de que se puede prescindir; pero el cálculo no se desarrolló en sus primeros fundadores de conformidad con lógica principios a partir de los definidos con precisión las nociones, y ganó adeptos más bien a través de la excelencia y variedad de los resultados que podría ser obtenida mediante el uso de ella que, a través de la obligatoriedad de la los argumentos por los cuales fue establecida.
Inicialmente, los matemáticos consideran negativos los números de "absurda". Más tarde, los números complejos se considera "absurdo". En 1911, ningún matemático considerados negativos o números complejos como absurds. Ya fueron aceptados. Sorprendentemente, infinitesimals se considera "absurdo"!
¿Cómo la gente podía aceptar las cosas como $\sqrt{-1}$ pero no podía aceptar infinitesimals? Creo que la respuesta es debido a los prejuicios en contra de ellos!
Arquímedes fue el primero en utilizar infinitesimals. Él considera que carecían de rigor, y luego, a pesar de que a menudo utilizado para obtener sus resultados, cuando publicó las pruebas de estos resultados, él nunca mencionó infinitesimals! En su lugar, se utiliza el método de agotamiento.
Esto está pensado como una respuesta y un comentario. @Conifold, La idea de que "la manera de Leibniz y otros fueron manipulación de infinitesimals a encontrar los derivados, por ejemplo, llevó a contradicciones" es un concepto erróneo. Hay una serie reciente de artículos sobre esto en las revistas que van desde los Avisos de AMS para Erkenntnis. Los artículos son un poco largos, pero si usted está buscando un resumen conciso puede consultar esta revisión por Marcel Guillaume.
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