Encontrar el pivote correcto en la forma normal de Smith

Question

He estado trabajando con los ejemplos de forma normal de Smith y me pregunto si estoy encontrando el pivote correcto para realizar el cálculo.

Dejemos que $V \subset \mathbb{Z}$ sea un grupo abeliano con matriz de relación $A$ .

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -6 & 0 \\ 0 & 2 & -6 \\ -6 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

Pregunta 1: Para el caso de las entradas en $\mathbb{Z}$ ¿el primer paso es siempre llevar el menor número entero a la posición 1-1 de la matriz? Así que no dividimos por 2 en este caso, ¿verdad?

(Estaba tratando de hacer algo similar a la matriz A en el Artículo de Wikipedia pero no tengo ni idea de cómo hacer que el primer pivote sea 1 y seguir obteniendo $SNF(xI-A) = \begin{pmatrix}1&0 \\0 &(x-1)^2 \end{pmatrix}$

Aplicando mi lógica esto es lo que obtengo para la forma normal de Smith (SNF) del problema original

$$\begin{pmatrix} 2 & -6 & 0 \\ 0 & 2 & -6 \\ -6 & 0 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & -6 & 0 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & -18 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & -18 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 52 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 52 \end{pmatrix}$$

Pregunta 2: ¿Es $V = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / 52\mathbb{Z}$ basado en la forma normal de Smith anterior?

Answer 1

En el ejemplo de Wikipedia de SNF $(xI-A)$ El objetivo es determinar si dos matrices sobre un campo son similares calculando las formas normales de Smith de sus matrices características. El campo puede ser, por ejemplo, los números racionales. En ese caso, los elementos de la matriz característica viven en el anillo de polinomios con coeficientes racionales. Las unidades de este anillo, es decir, los elementos que tienen inversos, son los números racionales no nulos. Así que en este caso se permite multiplicar filas o columnas por números racionales no nulos. Sólo que no se pueden multiplicar filas o columnas por polinomios de grado distinto de cero, ya que no tienen inversos en el anillo. Pero sí se puede, por ejemplo, multiplicar la fila 1 de la matriz por $1/2$ . Entonces, sumando un múltiplo adecuado de la columna 2 a la columna 1, y un múltiplo adecuado de la fila 1 a la fila 2, se puede obtener el resultado que da Wikipedia, hasta la permutación.

En general, las operaciones que se pueden realizar son

1. Permutar filas.
2. Multiplicar una fila por una unidad (elemento invertible) del anillo. (En el anillo de los enteros esto significa sólo $\pm1$ pero en un anillo de polinomios sobre un campo, podría ser cualquier elemento de campo no nulo).
3. Añadir un múltiplo de una fila a otra fila.
4. Realiza cualquiera de las operaciones de columna correspondientes.

Tenga en cuenta que no siempre puede borrar la primera fila y la columna en una sola pasada. En un dominio euclidiano, se puede, mediante operaciones de fila adecuadas, llevar el GCD de la primera columna a la posición (1,1) y despejar el resto de la columna. A continuación, mediante operaciones de columna adecuadas, se puede llevar el DGC de la primera fila a la posición (1,1) y despejar el resto de la fila. Pero en ese momento puede que la primera columna ya no esté despejada, por lo que habrá que repetir el proceso. Está garantizado que, en un número finito de pasos, terminará con la primera fila y la primera columna despejadas. (Piensa por qué.) Mediante un proceso iterativo, finalmente se llega a la forma diagonal. Sin embargo, los elementos diagonales pueden no satisfacer los requisitos de divisibilidad de la FNS. Eso siempre se puede arreglar con operaciones adecuadas que impliquen pares de elementos diagonales. Por ejemplo, $$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} 18 & 0\\0 & 30 \end{bmatrix}&\sim \begin{bmatrix} 18 & 18\\0 & 30 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 18 & 18\\-18 & 12 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 36 & 18\\-6 & 12 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 0 & 90\\-6 & 12 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 0 & 90\\-6 & 0 \end{bmatrix}\\ &\sim\begin{bmatrix} -6 & 0\\0 & 90 \end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix} 6 & 0\\0 & 90 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

Answer 2

Para responder a su pregunta 1: No dividimos por $2$ o cualquier otra no unidad en $\mathbb{Z}$ porque la división por $2$ no es un $\mathbb{Z}$ -mapa de $\mathbb{Z}$ a sí mismo. De hecho, no se nos permite multiplicar también por una no unidad, porque la multiplicación por $m$ no es un invertible $\mathbb{Z}$ -mapa a menos que $m = \pm 1$ .

Tu cálculo del SNF parece correcto, y obtienes los factores invariantes correctos.