Me gustaría un poco de ayuda con el siguiente problema (Gilbarg/Trudinger, Ex. 2.13):
Deje $u$ ser armónico en $\Omega \subset \mathbb R^n$. Usar el argumento que conduce a (2.31) para demostrar el interior de gradiente obligado, $$|Du(x_0)|\le \frac{n}{d_0}[\sup_{\Omega} u - u(x_0)], \quad d_0 = \mathrm{dist}(x_0, \partial \Omega)$$
El argumento mencionado en el ejercicio es el siguiente: Puesto que la $u$ es armónico, se sigue que también se $Du$ es armónico. Por lo tanto, si $B_R = B_R(x_0)\subset \subset \Omega$ obtenemos
$$Du(x_0) = \frac{1}{\omega_n R^n} \int_{B_R} Du = \frac{1}{\omega_n R^n} \int_{\partial B_R} u\nu = \frac{n}{R} \frac{1}{n\omega_n R^{n-1}}\int_{\partial B_R} u\nu$$
donde $\nu$ es exterior apuntando unidad vector normal (y la integración en el lado derecho se supone que debería pasar de las componentes). Subtituting $u \mapsto u-u(x_0)$, esto demuestra $$Du(x_0) = \frac{n}{R} \frac{1}{n\omega_n R^{n-1}}\int_{\partial B_R} [u-u(x_0)]\nu$$ Pero no veo cómo ir de aquí...
Por supuesto, si $\sup_{B_R(x_0)} |u-u(x_0)| = \sup_{B_R(x_0)} [u-u(x_0)]$, entonces no hay ningún problema, desde luego, uno puede tomar las normas en ambos lados. No creo que este sea el caso, en general, sin embargo. (integración de una función adecuada en contra de la distribución de Poisson núcleo).
Su ayuda será muy apreciada, gracias!
