¿Este mapa lineal está acotado?

Question

Este La pregunta pide que se demuestre lo siguiente:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios de Banach. Si $T: X \to Y$ es un mapa lineal tal que $f \circ T \in X^*$ por cada $f \in Y^*$ entonces $T$ está acotado.

La suposición de que $Y$ es completa parece redundante, y la suposición de que $X$ es completa sólo se invoca cuando se aplica el principio de acotación uniforme (si $X$ es completa, debe ser no-meager por el teorema de la categoría Baire). Así que estoy tratando de demostrar que $T$ sigue estando acotado si $X$ y $Y$ son espacios vectoriales normados arbitrarios (sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ), o bien encontrar un contraejemplo que ilustre que $X$ debe ser completa. Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

¿Qué tal esto como prueba de que $T$ ¿está acotado?

Considere el mapa $U:Y^*\to X^*$ dado por $Uf = f \circ T$ . Primero demostramos que $U$ tiene un gráfico cerrado: si $f_n \to f$ en $Y^*$ y $Uf_n = f_n\circ T \to g$ en $X^*$ , entonces para todos los $x \in X$ se deduce que $f_n\circ Tx \to f\circ Tx$ y $f_n\circ Tx \to g(x)$ . Por lo tanto, $g = f \circ T$ .

Desde $X^*$ y $Y^*$ son completas, por el teorema del gráfico cerrado, se deduce que $U$ es continua.

Consideremos ahora el mapa dual $U^*:X^{**} \to Y^{**}$ . Ver que $U^* \big |_X = T$ : $$ \text{for $ x \N en X $, $ g \ en Y^* $}, \qquad (U^*x)g = (x\circ U)(g) = x(Ug) = x(g \circ T) = (g\circ T)(x) = g(T(x)), $$ donde identificamos $x \in X$ con el elemento en $X^{**}$ a través de $x(f) = f(x)$ para $f \in X^*$ .