secuencia de complejos polinomios $p_n$ s.t. $p_n(0) = 1$ por cada $n \in \mathbb{N}$ $p_n(z) \to 0$ por cada $\mathbb{C}-\{0\}$?

Question

Hay una secuencia de complejos polinomios $p_n$ s.t. $p_n(0) = 1$ por cada $n \in \mathbb{N}$ $p_n(z) \to 0$ por cada $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$?

Cualquier ayuda con esto sería genial!

Answer 1

Sí, una secuencia existe. El uso de los polinomios $Q_n$ definido en esta respuesta a una muy similar pregunta. A partir de esa respuesta:

$Q_n$ es un polinomio que es menos de $\frac1{n(n+1)}$ $K_n^\times$ que $Q_n(0)=1$. Por lo tanto $Q_n(x)\to0$ pointwise en $\Bbb C^\times$.

He estado tratando de llegar con un simple construcción explícita, pero no he sido capaz.