Preguntas sobre el teorema del doble centralizador

Question

Un hecho importante en la teoría de álgebras centrales simples es el teorema del centralizador doble, que dice: si $k$ es un campo, $A$ es un $k$-álgebra, $V$ es una $A$-álgebra semisimple fiel, entonces $C(C(A)) = A$, donde $C(A)$ es el centralizador de $A$ en $End_k(V)$.

Tomar el centralizador es una operación que revierte la inclusión. Si consideramos el álgebra $M_n(k)$ de matrices $n\times n$ sobre un campo $k$, identificando $k$ con las matrices escalares y $\Delta$ con las matrices diagonales, obtenemos $C(k) = M_n(k)$, $C(M_n(k)) = k$, y $C(\Delta) = \Delta.

(1) Esto sugiere que la operación del centralizador es algo así como una dualidad entre $k$-subálgebras. ¿Hay algo de verdad en esto?

(2) ¿Siempre habrá una subálgebra como $\Delta$ que sea su propio centralizador?

No estoy seguro de qué condiciones poner en $k, A$ y $V$, así que estoy abierto a flexibilidad en eso.

(3) ¿Se cumple un resultado de centralizador doble en el contexto de grupos? (es decir, ¿$C_G(C_G(H)) = H$?). Si no es en general, ¿para qué grupos se cumple esto?

Answer 1

1) La conexión que estás buscando es que $ C (- ) $ es una conexión de Galois anti-tono (consigo mismo). Esto es realmente un "tipo de dualidad".

2) No estoy seguro en general. El enfoque utilizando conexiones de Galois antitono ciertamente no siempre funciona de esa manera. Por ejemplo, si tomas la operación como la complementación de conjuntos dentro de un conjunto no vacío $Y$, entonces $Y \setminus X = C (X) \neq X$ para cualquier $X.

Por otro lado, si $A$ es el operador aniquilador en la red de ideales de un anillo conmutativo, entonces la red de todos los $A (I)$ puede o puede no tener un punto fijo. Ejemplo: en $\mathbb R [x] / (x ^ 2)$ tiene el punto fijo $A ((x)) = (x)$, pero en $\mathbb R [x] / (x ^ 3)$ no lo tiene. Esto me lleva a creer que la respuesta a tu pregunta depende en parte del álgebra. Has elegido un tipo de álgebra particularmente agradable (un álgebra de matrices sobre un cuerpo). Si eligieras, en cambio, $M_n (\mathbb H)$, entonces $\Delta \nsubseteq C (\Delta)$. Pero, por supuesto, aún podría haber otro subanillo que haga el truco.

3) Debido a las propiedades de $CC (-)$ considerado como un operador de cierre (como se describe en el enlace anterior). De hecho, para cualquier conjunto no vacío $X$, $C (X) = C (C (C (X)))$. Prueba: Sabemos que $C ^ 2 (X) \supseteq X$ para cualquier $X$. Aplicando $C$ en ambos lados obtienes $C (C ^ 2 (X)) \subseteq C (X)$. Por otro lado, $C (X) \subseteq C ^ 2 (C (X))$. $C ^ 3 = C$ se cumple con cualquier operador de cierre de Galois, pero en general puedes tener $C ^ 2 (X) \supsetneq X$ para algunos subconjuntos. De todos modos, hemos aprendido que $C$ actúa como una involución en el conjunto de todos los $C (X)$, siempre que $C$ sea un operador de cierre como este.