preguntas sobre doble centralizador teorema de

Question

Un hecho importante en la teoría de la central de simple álgebras es el doble centralizador teorema, que dice: si $k$ es un campo, $A$ $k$- álgebra, $V$ es un fiel semisimple $A$-álgebra, a continuación, $C(C(A)) = A$ donde $C(A)$ es el centralizador de $A$$End_k(V)$.

Tomando el centralizador es una inclusión-revertir la operación. Si tenemos en cuenta el álgebra $M_n(k)$ $n\times n$ matrices sobre un campo $k$, identfying $k$ con el escalar de matrices y $\Delta$ con la diagonal de las matrices, obtenemos $C(k)$ = $M_n(k)$, $C(M_n(k)) = k$, y $C(\Delta) = \Delta$.

(1) Esto sugiere que el centralizador de la operación es algo así como una dualidad entre el $k$-subalgebras. Hay alguna verdad en esto?

(2) ¿siempre habrá una subalgebra como $\Delta$, que es su propia centralizador?

No estoy exactamente seguro de lo que las condiciones para poner en $k, A$, e $V$, por lo que estoy abierto a la flexibilidad en eso.

(3) Hace una doble centralizador resultado mantenga en el contexto de los grupos? (es decir,$C_G(C_G(H)) = H$?). Si no en general, por lo que los grupos hace esto?

Answer 1

1) La conexión que estamos buscando es que el $C(-)$ es un anti-tono de Galois de conexión (con ella). Este es de hecho un "tipo de dualidad".

2) no estoy seguro en general. El enfoque de uso de anti-tono de las conexiones de Galois, sin duda, no siempre funciona de esa manera. Por ejemplo, si usted toma el funcionamiento conjunto de complementación dentro de un conjunto no vacío $Y$, $Y\setminus X = C(X)\neq X$ cualquier $X$.

Por otro lado, si $A$ es el destructor del operador en el entramado de ideales de un anillo conmutativo, entonces el entramado de todos los $A(I)$ podría o no podría tener un punto fijo. Ejemplo: $\mathbb R[x]/(x^2)$ tiene el punto fijo,$A((x))=(x)$, pero en $\mathbb R[x]/(x^3)$ no lo hace. Esto me lleva a creer que la respuesta a su pregunta depende en cierta medida del álgebra. Usted ha seleccionado especialmente agradable tipo de álgebra (álgebra de matrices sobre un campo.) Si usted eligió, en cambio, $M_n(\mathbb H)$,$\Delta \nsubseteq C(\Delta)$. Pero, claro, todavía podría ser otra de las sub-anillo que hace el truco.

3) Debido a las propiedades de $CC(-)$ considera como un cierre de operador (como se describe en el enlace de arriba.) De hecho, para cualquier conjunto no vacío $X$, $C(X)=C(C(C(X))$. Prueba: sabemos que $C^2(X)\supseteq X$ cualquier $X$. La aplicación de $C$ en ambos lados consigue $C(C^2(X))\subseteq C(X)$. En el otro lado $C(X)\subseteq C^2(C(X))$. $C^3=C$ sostiene con cualquier Galois cierre de operador, pero en general usted tiene $C^2(X)\supsetneq X$ para algunos subconjuntos. De todos modos, hemos aprendido que la $C$ actúa como una involución en el conjunto de todos los $C(X)$, siempre que $C$ es un cierre operador como este.