Aplicaciones de la No-Estándar de Análisis a la Teoría de números y la Topología?

Question

S. E amigos,

Me pregunto ¿cuáles podrían ser algunas de las aplicaciones más útiles de la no-estándar de análisis a la teoría de números y la topología? Estoy muy interesado en el conjunto de la teoría de la topología y el primer distribuciones, y recientemente me encontré con el campo de la no-estándar de análisis de...El uso de los infinitesimales es muy interesante, pero no estoy seguro de cómo se puede aplicar a mis campos de interés.

Hacer infinitesimals oferta diferente a la perspectiva de la teoría analítica de números y topología?

Answer 1

Para una aplicación en la topología, considerar el teorema de Tychonoff. El teorema de Tychonoff establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto, con respecto a la topología producto. Una vez que la maquinaria básica de la hyperreal es el marco en su lugar, la prueba de que el teorema de Tychonoff es esencialmente un one-liner. El punto es que no es un elegante una conveniente caracterización de la compacidad de la siguiente manera. Un espacio de $A$ es compacto si y sólo si cada punto de su extensión natural $A^\ast$ es nearstandard. Aquí se nearstandard para $x$ significa que existe un ser infinitamente punto más cercano a $x$ que pertenece a $A$.

Por lo tanto, $\mathbb{R}$ no es compacto debido a su extensión natural contiene infinitos números que no son, pues, infinitamente cerca de cualquier número real.

El intervalo de $(0,1)$ no es compacto porque $(0,1)^\ast$ contiene infinitesimals que no son infinitamente cerca de real estrictamente entre el$0$$1$.

Answer 2

En teoría de números, he visto ocasionales buen uso de los infinitos números. Si $P$ es un infinito número primo, entonces el interno de campo finito de $P$ elementos es, en el exterior, un campo de característica cero.

He usado hechos sobre campos finitos para la construcción de campos de característica cero, con un bonito propiedades, y se utiliza hechos acerca de característica cero campos para probar cosas acerca de lo suficientemente grandes campos finitos.

La primera vez que he visto este método es en lo que respecta a la Ax-Kochen teorema: si la Wikipedia de la cuenta es correcta, la idea principal de la prueba puede ser reformulado como decir que el campo de $\mathbb{Q}_P$ $P$- ádico números y el campo de $\mathbb{F}_P((t))$ de formal Laurent de la serie sobre el campo finito de $P$ elementos de pasar a ser, cuando se ve externamente, primaria equivalente como valores de los campos.