Mi intento:
$N(a + b\omega) = (a + b \omega)(a - b \omega) = a^2 + \omega^2 b^2$
Estoy atascado aquí. Es mi enfoque correcto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La norma es el producto de los conjugados, en el sentido de extensiones algebraicas. El conjugado de a $\omega$ es la otra raíz de su polinomio mínimo $x^2 + x + 1$–$\omega^2$. Por lo $$N(a + b \omega) = a^2 - ab + b^2.$$
Ahora para tener $N(a + b \omega) = 1$,$a = 0$, por lo que obtenemos $\pm \omega$ como unidades. O $a \ne 0$, y podemos escribir $a^2 - ab + b^2 = a^2(1 - x + x^2)$ donde $x = \frac b a$.
Como $1 - x + x^2\ge \frac 34$, podemos tener $a^2 - ab + b^2 = 1$ si $a^2 = 1$.
Si $a = 1$, $a^2 - ab + b^2 = 1 - b + b^2 = 1 \iff b = 0$ o $b = 1$.
Del mismo modo, si $a = -1$, nos encontramos con $b = 0$ o $b = -1$.
Al final, nos encontramos con que las unidades se $\pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2$. Es un grupo cíclico generado por $-\omega$ o $-\omega^2$.
user10000100_u
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No, su segunda igualdad es malo. Ver esto :
Tomo nota de $A := \mathbf{Z}[\omega] := \{a+b\omega\;|a,b\in\mathbf{Z}\}$ donde $\omega = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}$. Considere la posibilidad de $N : A \to \mathbf{N}$ definido por $N(z) := z\overline{z}$ todos los $z\in A$ donde $\overline{z}$ denotar $z$'s complejo conjugado. Esta definición muestra que el $N$ es multiplicativo, como el complejo de la conjugación es multiplicativo. Ahora vamos a $z$ ser una unidad en $A$, por lo que tenemos una $z'$ $A$ tal que $zz' =1$. A continuación,$N(zz') = N(1)=1$, pero $N(zz') = N(z)N(z')$ $N$ es multiplicativo. De modo que $N(z)N(z') = 1$. Pero $N$ toma valores en $\mathbf{N}$, por lo que no hay elección : $N(z) = 1$. Si usted escribe $z = a+b\omega$$a,b\in\mathbf{Z}$, esto es equivalente a decir que el $a^2 + ab(\omega + \overline{\omega}) + b^2 |\omega|^2 = 1$, que es, a$a^2 - ab + b^2 = 1$,$a,b\in\mathbf{Z}$. A sabiendas de esta ecuación, ¿qué puede decir ahora acerca de $a$$b$ ?
