La comprensión de esta suma de identidad

Question

Actualmente estoy leyendo un libro en el que parte de la solución al problema que supone esta identidad:

$$\sum_{j=i+1}^{n}j = \sum_{j=1}^{n}j-\sum_{j=1}^{i}j$$

Que no puedo derivar a mí mismo. La única cosa que puedo hacer con esto es la siguiente:

$$\sum_{j=i+1}^{n}j = \sum_{j=1}^{n}j+i = \sum_{j=1}^{n}j + \sum_{j=1}^{i}i$$

Que a mí me parece completamente inútil.

Cualquier ayuda en la comprensión de este (como estoy acostumbrado a la recapitulación de la manipulación en general) sería muy apreciada.

Sé que es relativa a la "Calcular entero suma al límite inferior es una variable " pero todavía no veo el por qué.

Answer 1

\begin{align} 6+7+8 = \Big(1+2+3+4+5+6+7+8\Big) - \Big(1+2+3+4+5\Big) \end{align}

Eso es todo allí está a él. Su manera de expresar la pregunta hace que me pregunte si usted piensa que hay algo más que eso.

Answer 2

Tenemos $$\sum_{j=1}^{i}j+\sum_{j=i+1}^n j=\sum_{j=1}^n j.\tag{$1$}$$ El resultado que usted busca de la siguiente manera por la resta.

Si $(1)$ parece claro, tomemos los números particulares, decir $i=7$$n=19$. Tenemos $$\sum_{j=1}^{i}j =\sum_{j=1}^7j=1+2+\cdots+7$$ y $$\sum_{j=i+1}^{n}j =\sum_{j=8}^{19} j=8+9+\cdots +19.$$ Si se agregan, se obtiene $$1+2+\cdots+7+8+9+\cdots +19.$$ Esto es igual a $$\sum_{j=1}^{19} j.$$

Comentario: Exactamente el mismo argumento muestra que si $a_1,a_2,\dots$ es cualquier secuencia, entonces $$\sum_{j=i+1}^n a_j=\sum_{j=1}^n a_j -\sum_{j=1}^i a_j.$$