en pies cuadrados

Question

Considere la posibilidad de $Q = [0,1]^2$ $\phi:Q\to \mathbb{R}_{\geq 0}$ tal que $\phi$ es Lipschitz continua en función de una constante, decir $\lambda_\phi$.

Para cada una de las $x\in[0,1]$ ponemos $S(x) = supp \phi(x,\cdot)$ - es decir, $S(x)$ es un cierre de la siguiente conjunto $$ (y\in[0,1]:\phi(x,y)>0). $$

Llamamos a un no-vacío set $A\subseteq [0,1]$ auto-completar, si por cualquier $x\in A$ tiene $S(x)\subseteq A$. Podría dar algunas ideas de cómo comprobar si hay auto-completar series? Todas las ideas son más que bienvenidos.

Lo que pude comprobar es que el $A$ es un conjunto de medida positiva y, si hay una auto-set completo $A$ luego de su cierre también es auto-completar.

P. S. El término de auto-completar yo mismo uso - tal vez hay intersección en una terminología.

Editado: el problema puede ser reformulada de la siguiente manera: dado un conjunto abierto $G\subset Q$ compruebe si hay un circuito cerrado conjunto no vacío $A\subset [0,1]$ que si $x\in A$$(x,y)\in \bar{G}$$y\in A$.

Answer 1

Varios pensamientos diferentes. Supongo que un conjunto $A \subseteq [0,1]$ es de auto-completar si $\bigcup_{x \in A} S(x) \subseteq A$ donde $S \colon [0,1] \to P([0,1])$ es alguna función definida como el anterior en términos de un único fijo de Lipschitz $\phi\colon [0,1]^2 \to \mathbb{R}_{\geq 0}$.

(1) En algunos casos el conjunto de se $[0,1]$ sí, por ejemplo, si $\phi(x,y) = 1$ $[0,1]$ es el único (no vacío) de auto-set completo.

(2) con Independencia de lo $S$ es, se puede hacer un auto-set completo por la creación de un conjunto de "cerrado bajo $S$" en un sentido apropiado. Sólo tiene que utilizar la inducción transfinita a trabajar hacia el objetivo de que cada vez que $x \in A$, $S(x) \subseteq A$. Va como esto:

Elija cualquier punto de $x_0$ y deje $A_0 = \{ x_0\}$. Ahora, por inducción transfinita, para $\lambda > 0$ vamos

$$A_\lambda = \left ( \bigcup_{\kappa < \lambda} A_\kappa \right ) \cup \left ( \bigcup_{\kappa < \lambda}\, \bigcup_{x \in A_\kappa} S(x) \right ) $$

Este tiene la propiedad de que $A_\kappa \subseteq A_\lambda$ siempre $\kappa < \lambda$. No podemos seguir añadiendo nuevos puntos de siempre, porque no es sólo la mayor cantidad de puntos como la cardinalidad de [0,1]. Por lo que al final vamos a tener $A_\kappa = A_{\kappa+1}$, y este va a ser un auto-set completo.

(3) por lo general, usted puede reemplazar esta inducción transfinita con un "top-down" argumento. En realidad la intersección de cualquier familia de la auto-completar series sería auto completo salvo el requisito añadido de que la auto-completar series debe ser no vacío. Sin ese requisito, cada una de las $\phi$ estaría asociado con un mínimo de auto-set completo. El argumento de la parte (2) de arriba muestra que para cualquier $x \in [0,1]$ hay un vacío de auto-completar el conjunto que contiene a $x$. La intersección de todos los conjuntos de ser un auto-completar el conjunto que contiene a $x$, y así será de un mínimo de auto-set completo entre los que contengan $x$. De hecho, este es el conjunto que fue construido en la parte (2).

(4) Usted no puede demostrar que todos los auto-completar conjunto de medida positiva. Si $\phi$ es idéntica 0 $S(x) = \varnothing$ por cada $x$, y para cada conjunto (no vacío) es auto-completar.