¿Encontrar la ecuación de la cuadratura cuando se dan las tangentes?

Question

Conozco las ecuaciones de 4 líneas que son tangentes a una cuadrática:

$y=2x-10$

$y=x-4$

$y=-x-4$

$y=-2x-10$

Si sé que todas estas ecuaciones son tangentes, ¿cómo encuentro la ecuación de la cuadrática?

Normalmente me dirían dónde las tangentes tocan la curva, pero esa información no se da.

¡Gracias!

Answer 1

Como los dos pares de tangentes son simétricos con respecto a la $y$ -eje, la función cuadrática $f(x)=ax^{2}+bx+c$ debe ser par ( $f(x)=f(-x)$ ), lo que implica que $b=0$ . Las ecuaciones de las tangentes a la gráfica de $f(x)=ax^{2}+c$ en los puntos $% \left( x_{1},f(x_{1})\right) $ y $\left( x_{2},f(x_{2})\right) $ son $$\begin{eqnarray*} y &=&f^{\prime }(x_{i})x-f^{\prime }(x_{i})x_{i}+f(x_{i})\qquad i=1,2 \\ &=&2ax_{i}x+c-ax_{i}^{2}. \end{eqnarray*}$$

Estas ecuaciones deben ser equivalentes a dos de las tangentes dadas, una de cada par, por ejemplo $y=2x-10$ y $y=x-4$ :

$$\left\{ \begin{array}{c} 2ax_{1}x+c-ax_{1}^{2}=2x-10 \\ 2ax_{2}x+c-ax_{2}^{2}=x-4% \end{array}% \right. $$

Finalmente comparamos los coeficientes y resolvemos el sistema resultante de $4$ ecuaciones:

$$\left\{ \begin{array}{c} 2ax_{1}=2 \\ c-ax_{1}^{2}=-10 \\ 2ax_{2}=1 \\ c-ax_{2}^{2}=-4% \end{array}% \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_{1}=8 \\ x_{2}=4 \\ a=\frac{1}{8} \\ c=-2% \end{array}% \right. $$

Por lo tanto, la cuadrática es $f(x)=\frac{1}{8}x^{2}-2$ .

Answer 2

Como son simétricas alrededor del origen, la cuadrática no tiene ningún término lineal en $x$ . Así que yo pondría $y^2=ax^2+b$ como cualquier término lineal en $y$ pueden ser absorbidos en un desplazamiento vertical o $y=ax^2+b$ para obtener las parábolas. Luego calcula lo que $a$ y $b$ necesitan ser para que sean tangentes. Como incorporamos la simetría, sólo tienes dos líneas tangentes, pero eso da dos ecuaciones para $a, b$ .