Teorema cierto si $X$ no es completa

Question

Considere el siguiente teorema:

Deje $S$ ser un conjunto no vacío y deje $\{0\} \neq X$ ser un espacio vectorial de limitada funciones en $S$, con la condición de que $S$ es un espacio de Banach al $X$ es suministrado con el supremum de norma. Supongamos $f : S → \mathbb{F}$ es una función tal que $fg \in X$ todos los $g \in X$. A continuación, el operador de multiplicación $M_f : X → X$, definido por $M_f (g) = fg$ $(g ∈ X)$, está acotada.

Quiero saber,

• Es $f$ necesariamente limitada?
• Es este teorema sigue siendo cierto si $X$ no es completa.

Cualquier conocimiento son muy apreciadas.

Answer 1

• Jajaja De lo contrario el teorema sería trivial ($\|M_f\|\leqslant\sup|f|$).
• Jajaja Tomar $S=[0,+\infty)$, $$X=\{g\colon S\longrightarrow\mathbb{R}\,|\,g(x)=0\text{ if }x\gg0\},$$and $f (x) =x$. Then $g\in X\implies fg\in X$. However, $M_f$ is unbounded. Just take, for each $n\in\mathbb N$, $g_n=\chi_{[0,n]}$. Then $(\forall n\in\mathbb{N}):\|g_n\|_\infty=1$, but $\bigl\| M_f (g_n) \bigr\|=n$.