Mostrar para

Question

¿Cómo probar para cualquier números complejos $a$, $b$, $c$, la desigualdad $$|a|+|b|+|c|+|a+b+c| \geq |a+b|+|b+c|+|c+a| es correcto?

Answer 1

Ambos lados son no negativos, por lo que es suficiente para mostrar que el cuadrado del lado izquierdo es de al menos el cuadrado del lado derecho. Es decir, queremos mostrar: $$||a^2+b^2+c^2+|a+b+c|^2+2|ab|+2|bc|+2|ca+2(|a|+|b|+|c|)|a+b+c| \geq\\ |a+b|^2+|b+c|^2+|a+c|^2+2 (|(a+b+c)+bc|+|b(a+b+c)+ac|+|c(a+b+c)+bc|)$$ La plaza términos cancelar: $$||a^2+b^2+c^2+|a+b+c|^2 = 2|a|^2+2|b^2+2|c^2+2\operatorname{Re}(ab+bc+ca)=|a+b|^2+|b+c|^2+|a+c|^2$$ y por la desigualdad de triángulo tenemos $|a(a+b+c)|+|bc|\geq |a(a+b+c)+bc|$ cíclico y permutaciones.