El Nilradical de un ideal principal es un mínimo primer

Question

Me gustaría mostrar la siguiente afirmación:

El radical de un ideal primaria $\mathfrak q$, $r(\mathfrak q)$, es el más pequeño de primer ideal que contiene a $\mathfrak q$.

Me pueden decir si mi prueba es correcta:

Voy a utilizar los siguientes dos hechos:

(i) Hay un bijection entre los ideales de la $J$ $R$ contiene $I$ e ideales $\overline{J}$$R/I$.

(ii) El radical de un ideal de a $r(I)$ es igual a la nilradical $n(R/I)$. (Para ver esto, vamos a $x \in r(I)$. A continuación, $x^n \in I$ y, por tanto,$\overline{x}^n = 0$$R/I$. Por otro lado, vamos a $\overline{x}^n = 0$ $x^n \in I$ y, por tanto,$x \in r(I)$.)

Ahora para la reclamación: Por (ii), tenemos $r(\mathfrak q) = n(R/\mathfrak q)$. Sabemos que $n(R/\mathfrak q) = \bigcap_{I \in R/\mathfrak q; I \text{ prime}} I$. Volviendo a $R$ y el uso de (i) tenemos por lo tanto, ver que $r(\mathfrak q) = \bigcap_{I \subset R; \mathfrak q \subset I } I$. Al principio pensé que podría escribir "$\mathfrak q \subset I; I \text{ prime}$" aquí, pero creo que podría estar equivocado. (¿Sabe usted un ejemplo de que eso es malo?)

Ahora que hemos establecido que los $r(\mathfrak q)$ es el menor ideal que contiene a $\mathfrak q$ así que para terminar la prueba queremos mostrar que $r(\mathfrak q)$ es el primer:

Deje $xy \in r(\mathfrak q)$. A continuación, $x^n y^n \in \mathfrak q$ algunos $n$. Desde $\mathfrak q$ es el principal y tenemos por lo tanto, sé que para algunos $m$ tenemos $x^m$ o $y^m$$\mathfrak q$. Por lo tanto $x \in r(\mathfrak q)$ o $y \in r(\mathfrak q)$.

Answer 1

El último párrafo es grande: se ha demostrado que la $r(\mathfrak q)$ es un alojamiento ideal. La otra parte es en realidad más fácil, porque si $\mathfrak p$ es un alojamiento ideal, a continuación, una muestra por inducción que si $a \in A$ $n \geq 1$ son tales que $a^n \in \mathfrak p$$a \in \mathfrak p$. Por lo tanto, si $\mathfrak q \subset \mathfrak p$$r(\mathfrak q) \subset \mathfrak p$.

Con respecto a las anteriores cosas: podría ser más seguro para escribir algo como $r(I)/I = n(R/I)$. La correspondencia entre los ideales que contienen a $I$ e ideales de $R/I$ preserva la propiedad de ser el primer, y a tomar pre-imágenes de viajes con las intersecciones, por lo que en realidad debería escribir $r(\mathfrak q) = \bigcap_{I \text{ prime }\supset\ \mathfrak q} I$; pero sospecho que usted ya sabía de esta identidad. Tenga en cuenta que de intersección sobre todos los ideales que contienen a $\mathfrak q$ da $\mathfrak q$!