¿Valor de la expectativa puede imaginario?

Question

Fui para resolver un problema y el resultado del valor de la expectativa de un operador que salió que $-\frac{\hbar}{4}$ $i$. ¿Es posible este resultado? Parece contra intuitivo.

Answer 1

Si $A$ es auto-adjunto, se puede definir $f(A)$ como un complejo de valores observables, donde $f: \mathbb R \to \mathbb C$ es un medibles de valores complejos dela función: $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(x) dP^{(A)}(x)\:,$$ $P^{(A)}$ la espectral medida (proyector de valores) de $A$. $N= f(A)$ es un cerrado normal operador y admite una descomposición espectral $P^{(N)}$ apoyado en el espectro de $\sigma(N)\subset \mathbb C$ $N$ y construido de $P^{(A)}$$f$. Es posible definir la expectativa de valor de $N$ se refiere a un estado puro, representado por un vector normalizado $\psi$ pertenecen al dominio de $D(N)$ $N$ $$\langle N\rangle_\psi := \int_{\sigma(N)} z d\langle \psi| P^{(N)}(z) \psi \rangle = \langle \psi | N \psi \rangle$$ desde $\sigma(N)$ incluye a los números complejos, en general, $\langle N\rangle_\psi$ es un número complejo.

Resumiendo, complejo expectativa de valores de existir tan pronto como se definen complejo de valores de los observables. No hay ninguna obstrucción de la matemática en hacerlo. Sin embargo, siempre se puede descomponer un complejo observable $N$ en un par de estándar real (auto-adjont) observables (compatibles), $(N+N^*)/2$ $-i(N-N^*)/2$ y el uso de la teoría estándar (prestando atención a algunas sutilezas relativas a los dominios). De esta manera es más fácil y, supongo, es la razón por la compleja observables no aparecen muy a menudo en la literatura.

Answer 2

Si el operador no es uno mismo-adjoint entonces esta es una posibilidad. Si usted busca en phys.SE usted encontrará preguntas sobre el valor de la expectativa de xp en el caso de la QHO, y esto se convierte en imaginario