Una forma de obtener una expresión para la integral, aunque no en forma cerrada, es el uso de la Jacobi-la Ira de expansión:
$${{\rm e}^{iz\cos \left( \theta \right) }}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }
{i}^{n}{{\rm J}_n\left(z\right)}{{\rm e}^{\theta}} \etiqueta{1}$$
para ampliar el integrando en términos de funciones de Bessel de primera especie ($J_n$). De este modo, se puede demostrar que:
$$\sinh \left( {\frac {t\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) }{\tau}}
\right) \sin \left( {\frac {y\cos \left( \frac{\theta}{2} \right) }{2u\tau}}
\right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left( \sum _{k=-\infty}^{\infty}\left( -1 \right)
^{k}{{\rm J}_{2k+1}\left({\frac {y}{2u\tau}}\right)}
{{\rm J}_{2n+1}\left({\frac {- } {\tau}}\right)}\sin \left( \frac{\,
\left( 2\n+1 \right) \theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\,
\left( 2\,k+1 \right) \theta}{2} \right) \right) \etiqueta{2}$$
que se puede escribir:
$$\frac{i}{2}\sum _{n=-\infty}^{\infty} \left( \sum _{k=-\infty}^{\infty}\left( -1
\right) ^{k}{{\rm J}_{2k+1}\left({\frac {y}{2u\tau}}\right)} \left(
{{\rm J}_{-2k-1+2n}\left({\frac {- } {\tau}}\right)}+
{{\rm J}_{2k+1+2n}\left({\frac {- } {\tau}}\right)} \right) \pecado
\left( n\theta \right) \right) \etiqueta{3}$$
y por lo tanto:
$$\int _{0}^{\pi }\!\sinh \left( {\frac {t\sin \left( 1/2\,\theta
\right) }{\tau}} \right) \sin \left( {\frac {y\cos \left( 1/2\,\theta
\right) }{2u\tau}} \right) {d\theta}=\sum _{n=-\infty}^{\infty} \left( \sum _{k=-\infty}^{\infty}\frac{i\left( -1
\right) ^{k}{{\rm J}_{2k+1}\left({\frac {y}{2u\tau}}\right)} \left(
{{\rm J}_{-2k+1+4n}\left({\frac {- } {\tau}}\right)}+
{{\rm J}_{2k+3+4n}\left({\frac {- } {\tau}}\right)} \right) }{2n+1} \right) \etiqueta{4}$$
Puede no parecer demasiado bonita, pero la serie converge a menudo muy rápidamente y se puede simplificar más. Las circunvoluciones de las funciones de Bessel son a veces conocidos como generalizada funciones de Bessel aunque esto puede ser un estiramiento en términos de funciones analíticas.
Actualización
De esta manera es, probablemente, más limpio y sencillo. Tenga en cuenta que:
$$\sinh \left( {\frac {t\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) }{\tau}}
\right) \sin \left( {\frac {y\cos \left( \frac{\theta}{2} \right) }{2u
\tau}} \right) =-\frac{i}{2} \left( \cos \left( x\sin \left( \frac{\theta}{2}+
\phi \right) \right) -\cos \left( x\sin \left( \frac{\theta}{2}-\phi
\right) \right) \right) \etiqueta{i}$$
$$\phi=i\mathrm{arctanh} \left( {\frac {y}{2tu}} \right) \in \mathbb{C},\quad x=\frac{it}{2\tau}{\sqrt{4-{\frac {{y}^{2}}{{t}^{2}{u}^{2}}}}} \in \mathbb{C} \tag{ii} $$
en los estándares de producto-suma de identidades trigonométricas fueron utilizados y, a continuación, las dos funciones trigonométricas en el interior, cada uno con el mismo argumento, se escribe como una sola cambiar la escala y la función trigonométrica.
A continuación, a partir de $(1)$ puede resultar:
$$-\frac{i}{2}\left[\cos \left( x\sin \left( \frac{\theta}{2}+
\phi \right) \right) -\cos \left( x\sin \left( \frac{\theta}{2}-\phi
\right) \right)\right] =\\
i\la suma de _{n=-\infty }^{\infty }{{\rm J}_n\left(x\right)}\sin \left( n\frac{\theta}{2}\right) \sin \left( n\phi \right) \etiqueta{iii}$$
integrar y simplificar para obtener:
$$\int _{0}^{\pi }\!-\frac{i}{2}\left[\cos \left( x\sin \left( \frac{\theta}{2}+
\phi \right) \right) -\cos \left( x\sin \left( \frac{\theta}{2}-\phi
\right) \right)\right] {d\theta}=\\4\,i\la suma de _{n=1}^{\infty }{\frac {
{{\rm J}_{4n-2}\left(x\right)}\sin \left( \left( 4n-2 \right)\,
\phi \right) }{2\,n-1}} \etiqueta{iv}$$
que se verifica para todos los valores numéricos de los que he probado hasta ahora. Tenga en cuenta que las integrales sobre la izquierda de forma individual parecer funciones de Bessel $(J_0)$, pero para el $\phi$ cambio.
