pedir el límite de una secuencia

Question

¿$$ a_0 = 0, \ a_1 = 2, \ a_ {n + 1} = \sqrt {2 - \frac{a_{n-1}}{a_n}} \\ \lim_{n\to\infty}2^na_n\ = \? $$

No tengo ni idea de cómo calcular el límite de una secuencia, por favor dar algunos consejos.

Answer 1

Vamos a demostrar por inducción que $$ a_n=2\sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right) $$ Deje $\theta_n=\pi/2^n$. Claramente, $2\sin(\pi)=0=a_0$$2\sin(\frac{\pi}{2})=2=a_1$. Además, $$ a_{n+1}=\sqrt{2-\frac{a_{n-1}}{a_n}}=2\sqrt{\frac{1-\frac{a_{n-1}}{2a_n}}{2}} $$ Pero $$ \frac{a_{n-1}}{2a_n}=\frac{\sin \theta_{n-1}}{2\sin\theta_n}= \frac{\pecado 2\theta_n}{2\sin\theta_n}= \frac{2\sin \theta_n\cos\theta_n}{2\sin\theta_n}=\cos\theta_n $$ y $$ \cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha $$ $$ \sin\alpha=\sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}} $$ Por lo tanto, $$ a_{n+1}=2\sqrt{\frac{1-\cos\theta_n}{2}}= 2\sin\frac{\theta_n}{2}=2\sin\theta_{n+1} $$ El uso de expansión en series de Taylor, $$ a_n=2\theta_n+O\left(\theta_n^3\right)= \frac{\pi}{2^{n-1}}+O\left(8^{-n}\right) $$ así $$ 2^n a_n=2\pi+O\left(4^{-n}\right)\2\pi $$

Answer 2

Esto es sólo una respuesta parcial. A completarla si puedo, o alguien puede asumir el control.

Trasteando un poco alrededor de muestra que

$$\begin{align} a_2&=\sqrt2\\ a_3&=\sqrt{2-\sqrt2}\\ a_4&=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}\\ a_5&=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\\ \end {Alinee el} $$

en el punto de que el patrón debe ser claro, la cuestión se reduce a cómo rápidamente

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$$

acercarse a su límite, que se demuestra fácilmente que $2$.