Que $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ ser un espacio mensurable. $A_1, A_2,...,A_n \in \mathcal{A}$ son conjuntos de medida finita. Tengo que probar $\int 1-\prod_{i=1}^n (1- \mathbb{I}_{A_i}) d \mu= \mu ( \bigcup_{i=1}^n A_i )$. Pero una vez más totalmente puzzeld cómo empezar.
Resultado:
Resolví el problema, utilizando la sugerencia de Weltschmerz. Por ahora encontré una forma elegante de la prueba, que es simplemente $$\int 1 - \prod_{i=1}^n \left( 1- \mathbb{I}_{A_i} \right) d \mu= \int 1 - \prod_{i=1}^n \left( \mathbb{I}_{A_i^C} \right) d \mu$$ $% $ $ = \int 1 - \mathbb{I}_{\bigcap_{i=1}^n A_i^C} d \mu = \int \mathbb{I}_{\left( \bigcap_{i=1}^n A_i^C \right)^C} d \mu = \int \mathbb{I}_{\bigcup_{i=1}^n A_i} d \mu= \mu \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)$
