Tamiz de número utilizando la función LCM

Question

Cómo probar la siguiente conjetura ?

Definición :

Deje $b_n=b_{n-2}+\operatorname{lcm}(n-1 , b_{n-2})$ con $b_1=2$ , $b_2=2$ y $n>2$ .

Deje $a_n=b_{n+2}/b_n-1$

Conjetura :

1. Cada término de esta secuencia $a_i$ es el primer o $1$ .

2. Cada número primo impar es miembro de esta secuencia .

3. Cada nuevo primer en la secuencia es la siguiente prime de la mayor prime ya mencionados .

Maxima aplicación de tamiz :

/* input number n */
load(functs);
n:200;
b1:2;
b2:2;
max:2;
k:3;
i:1;
while max<=n do (
    if i=1 then(
        print(max),
        i:0
        ),
    b3:b1+lcm(k-1,b1), 
    a:b3/b1-1, 
    k:k+1, 
    b1:b2, 
    b2:b3, 
    if max<a then (
       max:a, 
       i:1
       )
    );

Puede ejecutar este código aquí .

Answer 1

Esta es la secuencia de A135506 en OEIS, y que yo sepa, ninguna prueba de la conjetura 1 ha sido publicado. Benoit Cloitre anunció en este papel, pero creo que no ha sido publicada.

Conjetura 2 es en realidad muy simple a la prueba, lo hice en mi tesis de licenciatura. Por desgracia, esto es sólo en alemán, me pueden escribir en inglés, si usted está interesado.

Creo conjetura 3 es casi una consecuencia directa del hecho de que $a_p=p$ por cada primer, y esta es la primera vez $p$ puede ocurrir en la secuencia.

Edit: de hecho, me di cuenta de que su definición del cociente es ligeramente diferente, ya que va dos pasos hacia atrás. Me voy a revisar el argumento - que no debería hacer una gran diferencia.

Edit: Este es el argumento de conjeturas 2 y 3. En primer lugar tenemos el general la relación entre el mcd $(a,b)$ y lcm $[a,b]$:

$$a\cdot b = (a,b)\cdot[a,b].$$

A continuación, tomamos nota de que el menor común múltiplo $[n-1,b_{n-2}]$ es en particular un múltiplo de $b_{n-2}$, decir $kb_{n-2}$$1\le k\le n-1$. Por lo tanto, tenemos

$$b_n=b_{n-2}(k+1),$$

así que en cada paso el plazo $b_n$ obtiene un nuevo factor de entre $2$$n$, lo que significa, en particular, que todos los factores primos de a $b_n$ son menores o igual a $n$.

Ahora nos reorganizar $a_n$ con la observación anterior a

$$a_n=\frac{n+1}{(n+1,b_n)}.$$

Deje $p$ ser una de las primeras. A continuación, $(p,b_{p-1})=1$ ya que todos los factores primos de a $b_{p-1}$ son estrictamente menor que $p$. Pero, a continuación,

$$a_{p-1}=\frac{p}{(p,b_{p-1})}=p$$

como se afirma en la conjetura 2.

Además, hemos obviamente $a_n\leq n+1$ todos los $n$, por lo que el primer índice para el cual el primer $p$ pueden aparecer en la secuencia es$p-1$, lo que implica inmediatamente conjetura 3.

Como se mencionó antes, la conjetura 1 parece un poco más difícil, y yo estaría interesado en una prueba a mí mismo.

PS: me tomó un par de páginas para demostrar estos hechos cuando me trabajó por primera vez en 6 años, pero es claramente mucho más sencillo ahora que pensaba en ello de nuevo.

Edit: yo escribí un poco más entrada de blog acerca de esta secuencia.