Demostrar que el subgrupo cíclico $\langle a\rangle$ de un grupo $G$ es normal si y sólo si para cada $g\in G$ , $ga=a^kg$ para algunos $k\in\Bbb{Z}$ .

Question

Demostrar que el subgrupo cíclico $\langle a \rangle$ de un grupo $G$ es normal si y sólo si para cada $g \in G$ , $ga = a^k g$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ .

Supongamos que $\langle a \rangle$ es normal en $G$ . Entonces $\langle a \rangle g = g \langle a \rangle$ para todos $g \in G$ . Esto implica $a^k g \in g \langle a \rangle$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ .

(¿Cómo puedo hacer la conexión a partir de este punto a la conclusión de la prueba en la dirección hacia adelante?)

Por el contrario, supongamos que $ga = a^k g$ . Entonces $ga \in \langle a \rangle g$ y así $g \langle a \rangle \subseteq \langle a \rangle g$ . Ahora $a^k g = ga$ implica $a^k g \in g \langle a \rangle$ y así $\langle a \rangle g\subseteq g \langle a \rangle$ . Finalmente conseguimos $\langle a \rangle g = g \langle a \rangle$ .

Answer 1

Un subgrupo $U\le G$ es normal si y sólo si $gU=Ug$ para todos $g\in G$ . Esto se traduce elementalmente en la afirmación

Por cada $g\in G$ y $u\in H$ hay algo de $u'\in U$ tal que $gu=u'g$ .

Esta es la inclusión $gU\subseteq Ug$ para todos $g$ pero $g^{-1}U\subseteq Ug^{-1}$ ya implica $$ Ug = g(g^{-1}U)g \subseteq g(Ug^{-1})g = gU, $$ por lo que el enunciado es equivalente a $gU=Ug$ para todos $g\in G$ .

Ahora dejemos que $U=\langle a\rangle = \{\,a^k \mid k\in\mathbb Z\,\}$ . Ahora $U$ es normal si y sólo si

Por cada $g\in G$ y $l\in\mathbb Z$ hay algo de $k\in\mathbb Z$ tal que $ga^l=a^k g$ .

Supongamos que $U$ es normal, entonces obtenemos $ga=a^kg$ para algunos $g$ eligiendo $l=1$ en la declaración anterior.

Para la inversa, supongamos que $ga=a^kg$ para algunos $k$ . Dado cualquier $l\in\mathbb Z$ obtenemos $$ ga^l = (ga^l g^{-1}) g = (gag^{-1})^l g = (a^k g g^{-1})^l g = a^{kl} g, $$ por lo que la afirmación anterior es cierta y por lo tanto $U$ es normal.

Answer 2

Tienes que demostrar que $ga=a^k g$ para algunos $k$ . Ha demostrado que $g\langle a\rangle=\langle a\rangle g$ . Desde $ga$ es un elemento de $g\langle a\rangle$ , usted sabe que $ga$ es un elemento de $\langle a\rangle g$ . Esto significa que existe algún elemento $h\in\langle a\rangle$ para que $a=hg$ . ¿Puede demostrar que $h=a^k$ para algunos $k$ ?

En cuanto a su contrario, su prueba es descuidada. Claro que sí, $a^kg = ga$ implica que $a^kg\in g\langle a\rangle$ . Sin embargo, esto no demuestra (todavía) que $\langle a\rangle g \subseteq g\langle a\rangle$ . Esto se debe a que para demostrar esto, hay que demostrar que cada elemento de $\langle a\rangle g$ es un elemento de $g\langle a\rangle$ . Todo lo que hiciste fue demostrar que $a^kg$ (para algunos $k$ ) es un elemento de $g\langle a\rangle$ .

De hecho, ni siquiera me convence su prueba de que $g\langle a\rangle\subseteq\langle a\rangle g$ . Usted dice que esto se deduce de $ga\in\langle a\rangle g$ Sin embargo, debe demostrar que $ga^n\in\langle a\rangle g$ por cada $n$ Lo que usted, al menos en mi opinión, no ha hecho (al menos no rigurosamente).