Cómo resolver el doble límite $\lim_{m\to\infty}[\lim_{n\to\infty}(\cos(m!\cdot \pi\cdot x))^{2n}]$

Question

Por favor, proporcione algunas pistas sobre cómo resolver preguntas con límites dobles como ésta:

$$\lim_{m\to\infty}\left[\lim_{n\to\infty}(\cos(m!\cdot \pi\cdot x))^{2n}\right]$$

Una de las cosas que hice fue convertir la función original a: $$e^{n\ln(\cos(m!\cdot\pi\cdot x)^2)}$$ y luego cambiar coseno en seno y tomar $t=1/m$ e intenta utilizar $$\lim \frac{\sin(m!\cdot\pi\cdot x)}{m!\cdot\pi\cdot x}$$ pero eso sólo lo estropeó aún más. Obviamente, no puedo usar L'Hopital porque ni el numerador ni el denominador son cero.

Otra cosa era intentar utilizar la expansión en serie de potencias, pero eso parecía aún más complicado, ya que todavía hay que lidiar con la potencia de 2n.

Ayuda, por favor Gracias.

Answer 1

Pista: Mire por separado $x$ irracional, $x$ racional.

Si $x$ es irracional, entonces $\cos(m!\pi x)$ tiene un valor absoluto inferior a $1$ .

Si $x$ es racional, digamos $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son números enteros, ¿cuál es el valor de $\cos(m!\pi x)$ para un tamaño suficientemente grande $m$ ?

Detalle: Supongamos que $x$ es irracional. Fijar $m$ . Entonces $m!\pi x$ no es un múltiplo entero de $\pi$ . De ello se deduce que $|\cos(m!\pi x)|\lt 1$ . Sea $c_m=\cos(m\pi x)$ . Desde $c_m$ tiene un valor absoluto inferior a $1$ tenemos $\lim_{n\to\infty} c_m^{2n}=0$ . Así pues, nuestro doble límite es $\lim_{m\to\infty} 0$ que es $0$ .

Supongamos ahora que $x$ es racional. Entonces podemos suponer que $x=\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son números enteros. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $b$ es positivo.

Sea $m\ge b$ . Entonces $m!x=(b-1)!a$ . Así $m!\pi x$ es un múltiplo entero de $\pi$ . De ello se deduce que $\cos(m!\pi x)=\pm 1$ y, por lo tanto $(\cos(m!\pi x))^{2n}=1$ . Así, para cualquier $m\ge b$ tenemos $$\lim_{n\to\infty} (\cos(m!\pi x))^{2n}=1.$$ Concluimos que $$\lim_{m\to\infty}\left[ \lim_{n\to\infty} (\cos(m!\pi x))^{2n} \right]=1.$$