El estado del suelo de la Esférica simétrica potencial siempre ha $\ell=0$?

Question

Me fue dado un problema por el que tengo un esféricamente simétrica potencial (la forma exacta no es relevante para esta pregunta, creo - pero de todos modos es 0$r\in[a,b]$ $\infty$ en todas las demás) y me pidió que encontrar la planta de energía del estado. Nota: de hecho soy capaz de resolver el problema, pero yo la primera vez que asumió $\ell=0$. Ahora que lo pienso, yo estaba haciendo la suposición ciegamente y me gustaría una justificación para ello.

Es siempre cierto que el estado fundamental de cualquier esféricamente simétrica de la función potencial de cero, con el impulso angular orbital? [El caso del átomo de hidrógeno parece caer fuera de álgebra, y una explicación física que las obras en general sería mucho más agradables]

Answer 1

He aquí un papel con una prueba de que el estado debe ser l=0 para esféricamente simétrica potenciales para una sola partícula, suponiendo que hay un estado asociado. Resumen:

El variacional se usa para mostrar que el estado fundamental de la función de onda de un cuerpo de la ecuación de Schrödinger con un potencial real es real, no cambia de signo, y es no degenerada. Como consecuencia, si el Hamiltoniano es invariante bajo rotaciones y la paridad de las transformaciones, el estado debe tener positivos de la paridad del cero y del momento angular.

Esencialmente,

1. Puede ser demostrado que el estado debe ser real y no negativa en todas partes, asumiendo un estado asociado existe y asumiendo cero vuelta. El argumento en el papel es abstracta, pero la idea es que, después de realizar la función de onda en un producto de la amplitud y la fase de factores que pueden variar con la posición, después de calcular la energía potencial y la cinética de las partes de la expectativa de valor de $<H>$, la única parte de la energía que depende de la fase es un término de energía cinética, la cual es minimizada por hacer la fase constante. Si la fase es constante, la función de onda puede ser asumida como real y no puede cambiar de signo.

2. Desde allí, se puede demostrar que el estado es único. Básicamente, si no fuera, entonces no habría una segunda función de onda del estado fundamental (que también no se puede cambiar el signo), pero no pueden ser ortogonales ya que no se puede integrar el producto de dos no-signo-cambio de wavefunctions y obtener cero.

La simetría esférica de la Hamiltoniana exige que, si hay un $l \neq 0$ estado de energía, también debe de haber un $-l$ estado con la misma energía, por lo que la única posibilidad es tener $l=0$.

(Dicho esto, el papel de la cites este papel, diciendo que si tenemos una colección de dos partículas con un fuerte acoplamiento spin-órbita entre ellos, el general Hamilton puede tener simetría esférica, pero el sistema de ruptura espontánea de simetría y terminar con $l \neq 0$.)

Answer 2

Considerar (al menos perturbativa) contribución de los adicionales efectivas "potencial" en la ecuación radial al $l\ne 0$, analizar su signo y juzgar en consecuencia.

La explicación física es simple - que es un adicional de energía cinética de un movimiento de rotación.