Mostrar que la colección de todos los subconjuntos de a $X$ que están contenidas en $Y$ es una topología en $Y$.

Question

Esta pregunta es de un libro de texto. Por favor, hágamelo saber si mi prueba es valido.

Supongamos $X$ es un espacio topológico y $Y$ es un subconjunto abierto de $X$. Mostrar que la colección de todos los subconjuntos de a $X$ que están contenidas en $Y$ es una topología en $Y$.

Si todos los subconjuntos abiertos de $X$ que están contenidas en $Y$ es no una topología en $Y$, entonces, existe algún subconjunto abierto de $Y$ que no está contenido en $X$. Sin embargo, esto se contradice con el "$Y$ es un subconjunto abierto de $X$"

Answer 1

Deje $\mathcal{F_Y}=\{O:O\in X,\:O\subset Y,\:Y\in X,\: \text{O and Y are open}\}$. A continuación, para cada una de las $O\in\mathcal{F_Y}$,$O=O\cap Y$$O\subset Y$. Podemos demostrar que $\mathcal{F_Y}$ es una topología en $Y$.

Deje $O_{\alpha}$ ser cualquier colección de conjuntos en $\mathcal{F_Y}$. A continuación, $\bigcup O_{\alpha}$ está abierto para $O_{\alpha}$ es abierta y arbitraria de la unión de abiertos es abierta. Por otra parte $$ \bigcup O_{\alpha}=\bigcup (O_{\alpha}\cap Y)=(\bigcup O_{\alpha})\cap Y\subconjunto Y $$ Por lo $\bigcup O_{\alpha}\in\mathcal{F_Y}$.

Deje $O_{i}$ ser cualquier colección finita de conjuntos en $\mathcal{F_Y}$. A continuación, $\bigcap_{i=1}^n O_i$ está abierto para $O_{i}$ está abierto y la intersección finita de abiertos es abierta. Por otra parte $$ \bigcap_{i=1}^n O_i=\bigcap_{i=1}^n (O_i\cap Y)=(\bigcap_{i=1}^n O_i)\cap Y\subconjunto Y $$ Por lo $\bigcap_{i=1}^n O_i\in \mathcal{F_Y}$.

Finalmente, $\varnothing\in\mathcal{F_Y}$ $\varnothing$ es abierto y $\varnothing\subset Y$.

Por lo $\mathcal{F_Y}$ es una topología en $Y$.