Demostrar la existencia de una analítica de la función

Question

Deje $\Delta=\{z\in \mathbb C: |z| < 1\}$. Deje $f: \Delta \rightarrow \mathbb C$ ser un uno-a-uno de la analítica de la función de fijar el origen. Demostrar que no es un uno-a-uno de la analítica de la función $g: \Delta \rightarrow \mathbb C$ tal que $[g(z)]^2=f(z^2)$. Además, muestran que este tipo de función es impar.

La única idea que se me viene a la mente es la siguiente (no estoy seguro si es la dirección correcta, aunque). Deje $h: \Delta \rightarrow \Delta \rightarrow \mathbb C,\ z\mapsto z^2\mapsto f(z^2)$. Tenga en cuenta que $h'(0)=0,\ h''(z)=2f'(z^2)+4z^3f''(z^2)$; desde $f$ es uno-a-uno y la analítica, su derivado nunca se desvanece, por lo $h''(0)\ne 0$. Por lo $h$ es una analítica de la función de $\Delta$ con un cero de orden dos en el origen. Entonces no es una analítica de la función $g$ definida en un abierto de disco sobre el origen con un simple cero en el origen tal que $[g(z)]^2=f(z^2)$.

Esta es la única cosa que se me ocurrió, pero parece ser un poco irrelevante, ya que no veo ninguna manera de extender esta $g$ para el conjunto de la $\Delta$, y también la inyectividad y la rareza de ese $g$ no están claros.

Answer 1

Considere la función $f_1(z) = \frac{f(z^2)}{z^2}$. Es holomorphic en $\Delta$ y no tiene ceros, por lo que tendrá una raíz cuadrada $h(z)$. Desde $f_1$ es incluso, $h$ será par o impar. De hecho, $h^2$ incluso implica $(h(z)-h(-z))(h(z)+ h(-z) )\equiv 0$. Desde $h$ no tiene ceros, será incluso. Definir entonces $g(z) = z h(z)$. $g$ será una función impar. Usted puede comprobar ahora que $g(z)^2 = f(z^2)$. Ahora imagine $g(z_1) = g(z_2)$. A continuación,$f(z_1^2) = f(z_2^2)$, y por lo $z_1^2 = z_2^2$. Si $z_1 \ne z_2$, esto implica $z_1 = - z_2$, y por lo $g(z_1) = - g(z_2)$. Así que ambos de ellos son $0$, $f(z_1^2) = 0$, por lo $z_1= 0 = z_2$. En conclusión, $g$ es inyectiva y extraño ( hay dos soluciones para $g$, claramente).

Answer 2

Desea $g$ a ser una rama de $\sqrt{f(z^2)}$. Se ha demostrado que esto es posible en un barrio de $0$. Ciertamente es posible que en un barrio de cualquier otro punto de $\Delta$ (desde $f$ es uno-a-uno y $f(0)=0$, $f(z) \ne 0$ de allí). El Monodromy Teorema debe mostrar que se obtienen continuación analítica a $\Delta$. Por otra parte, hay dos posibles $g$ (ya que hay dos opciones para la raíz cuadrada en un barrio de algunos $z \ne 0$).

Ahora si $g(z)$ es una solución, por lo que son $-g(-z)$ $g(-z)$ . Así, uno de estos debe ser $g(z)$, es decir, $g$ es par o impar. Pero centrándonos en el orden del cero en el origen, no puede ser, incluso.