¿Estructura ingenua del espectro Z/2 en E smash E?

Question

Dejemos que $E$ sea un espectro. Entonces $E \wedge E$ es un $\mathbb{Z}/2$ -en el sentido más ingenuo posible, es decir, un objeto con $\mathbb{Z}/2$ -en la categoría de espectros (∞,1). ¿Puedo hacer una $\mathbb{Z}/2$ -¿espectro en el sentido menos ingenuo, pero no genuino? (Es decir, un $\mathbb{Z}/2$ -espectro indexado en el universo trivial).

Estoy pensando en algo como lo siguiente. Puedo representar $E$ como un functor excisivo (reducido y continuo) de espacios puntuales a espacios puntuales. Entonces definamos

$$G(X) = \mathrm{colim}_{I \times I} \mathrm{Map}(S^{x_1} \wedge S^{x_2}, E(S^{x_1}) \wedge E(S^{x_2}) \wedge X)$$

donde $I$ es la categoría de conjuntos finitos e inclusiones. Es de esperar que $G$ es un functor de espacios a $\mathbb{Z}/2$ -espacios. Si me olvido del $\mathbb{Z}/2$ -conjunto de puntos fijos, puedo pensar en ello como $E \wedge E$ con su $\mathbb{Z}/2$ acción. Qué hace el espectro $G(X)^{\mathbb{Z}/2}$ ¿corresponde? ¿Existe un nombre más conocido para ello? Editar: Parece que estoy recibiendo $E \vee (E \wedge E)^{h\mathbb{Z}/2}$ pero sin mucha confianza.

[Parte sobrante de la pregunta: Si es así, por mi pregunta aquí Puedo pensar en el objeto resultante como un functor de la categoría opuesta a la órbita de $\mathbb{Z}/2$ a los espectros. Desenvolver esto equivale a dar algún espectro $F$ junto con un mapa $F \to (E \wedge E)^{h\mathbb{Z}/2}$ . ¿Qué es? $F$ ?]

Answer 1

He aquí una manera muy sencilla de obtener $(E \wedge E)^{\Bbb Z_2}$ sin tener que recurrir a las representaciones (al menos si $E$ es conectivo). Considerar el functor de espectros a los espectros dada por $$E \mapsto \Sigma^\infty \Omega^\infty E .$$ That is, the suspension spectrum of the zeroth space of $E$.

Vamos $$E \mapsto P_2(E)$$ ser su cuadrático de aproximación en el sentido de Goodwillie del cálculo de homotopy functors (es decir, la segunda etapa de la Goodwillie de la torre).

A continuación, $P_2(E)$ tiene el homotopy tipo de $(E \wedge E)^{\Bbb Z_2}$ siempre $E$ es conectivo.

Por cierto, también se puede ver que este viene equipado con una fibra de secuencia $$ D_2(E) \a P_2(E) \a E $$ lo que equivale a la tom Dieck de la división, en el caso de $E$ es una suspensión del espectro. Aquí, $D_2(E) = (E\wedge E)_{h\Bbb Z_2}$ es la cuadrática de la construcción. En general, esta secuencia no tiene que dividir.

Answer 2

Dado un espectro $E$ hay una elevación "estándar" de $E \wedge E$ a un $\mathbb{Z}/2$ -espectro utilizando la técnica básica que describes. Una forma de describirlo es la siguiente.

Se puede construir la categoría de auténtico $\mathbb{Z}/2$ -espectros (indexados en el universo completo) a través de colecciones de $\mathbb{Z}/2$ -espacios $X\_n$ con mapas estructurales equivariantes $\sigma: S^V \wedge X\_n \to X\_{n+1}$ , donde $S^V = S^1 \wedge S^1$ es la compactación de 1 punto de la representación regular $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ con la acción "flip". Según esta descripción, si $E$ es un espectro formado por espacios $E\_n$ y mapas de estructura $S^1 \wedge E\_n \to E\_{n+1}$ entonces se puede construir $E \wedge E$ como un auténtico $\mathbb{Z}/2$ -espectro con espacios $E\_n \wedge E\_n$ y mapas de estructura $S^1 \wedge S^1 \wedge E\_n \wedge E\_n$ que simplemente giran y aplican el mapa estructural en cada factor. (Esto, por ejemplo, es una forma de pasar la estructura equivariante sobre $TC$ ).

Este espectro completamente genuino tiene un espectro subyacente indexado en el subgrupo trivial. El $\mathbb{Z}/2$ -El objeto de punto fijo es el pullback homotópico de un diagrama

$$ (E \wedge E)^{h\mathbb{Z}/2} \to (E \wedge E)^{t\mathbb{Z}/2} \leftarrow E $$

donde $Z^{t\mathbb{Z}/2}$ es el llamado "espectro Tate" de $Z$ que es a la cohomología de Tate lo que el espectro de puntos fijos de homotopía es a la cohomología de grupo.

Si $E = \Sigma^\infty W$ para un espacio $W$ entonces el mapa de $E$ al espectro de Tate se eleva (a través de la diagonal) a un mapa al espectro de puntos fijos de homotopía, por lo que el pullback de homotopía será realmente equivalente a $E \vee (E \wedge E)_{h\mathbb{Z}/2}$ . (Esta órbita de homotopía es la fibra del mapa de puntos fijos de homotopía a puntos fijos de Tate).

Para los espectros finitos el mapa de $E$ a su espectro de Tate es la terminación 2-ádica; ésta es una forma de enunciar el contenido de la conjetura de Segal que Carlsson demostró (al menos en el primo 2). Sverre Lunoe-Nielsen extendió este resultado a otros espectros, como el de Brown-Peterson. En estos casos, el objeto de punto fijo es equivalente, tras la terminación 2-ádica, al objeto de punto fijo de la homotopía.

Todo lo anterior es igual para un grupo cíclico de orden primo.