La compacidad de los puntos complejos de una $\mathbb{C}$-variedad

Question

Deje $X$ $\mathbb{C}$- variedad y deje $X_{cx}$ denotar el topológica del espacio formado por las $\mathbb{C}$de los puntos con la topología compleja (es decir, los asociados de la analítica en el espacio).

Si $X$ es proyectivo, entonces $X_{cx}$ es un compacto de espacio topológico. Yo estaba pensando en el conversar y encontrar una GAGA-cite que $X_{cx}$ es compacto iff $X$ es adecuado. Esto no era lo que yo esperaba: Si se dibuja, por ejemplo, los puntos reales de la variedad definida por $X^2+Y^2+Z^2=1$, se obtiene un $2$-esfera que es compacto y agradable.

Puedo pensar en $\mathbb{C}$-puntos honestamente sólo para las curvas desde $\mathbb{R}^{\geq 4}$ es más allá de lo que puedo imaginar como un todo (y compacidad no es un local de propiedad). Por lo tanto, si la GAGA citado teorema es verdadero, debe haber una gran diferencia en relación a la compacidad entre lo real y la imagen compleja.

¿Por qué no hay no-trivial afín $X$ $X_{cx}$ compacto (una adecuada afín de morfismos es finito) y donde es (moralmente) la diferencia a la imagen real?

Answer 1

El complejo puntos de una $\mathbb C$-esquema suficiente para reconstruir el esquema.
Más precisamente, hay una equivalencia de categorías entre estos esquemas (más precisamente integral de los esquemas de finito de tipo más de $\mathbb C$) y la clásica variedades, obtenidas mediante el envío del esquema de $X$ a su conjunto $X_{cx}$ $\mathbb C$- puntos , dotado con la restricción estructural de la gavilla: $\mathcal O_{X_{cx}}=O_X|X_{cx}$.

La raíz de esta equivalencia reside en dos hechos:
$\bullet$ El anillo de $\mathbb C[T_1,\ldots , T_n]$ es Jacobson, lo que significa que cada primer ideal es la intersección de la máxima ideales que la contiene.
Esto es cierto para cualquier polinomio anillo, pero al siguiente segundo hecho requiere algebraicas closedness de $\mathbb C$:

$\bullet \bullet$Cada ideal maximal $\mathfrak m \subset \mathbb C[T_1,\ldots , T_n]$ es administrado por un punto $a=(a_1,\ldots, a_n)$: $\mathfrak m=(T_1-a_1,\ldots , T_n-a_n)$

Esto es completamente falso para$ \mathbb R[T_1,\ldots , T_n]$, y es la moral de la razón por la que el $\mathbb R$- puntos de una $\mathbb C$-esquema son claramente insuficiente para determinar el esquema: basta pensar en los puntos reales de $x_1^2+\ldots+x_n^2+x_{n+1}^2=0$ $\mathbb P^n_\mathbb R$ [en Realidad, no hay literalmente nada que pensar :-)]

Answer 2

$\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, lo que garantiza que afín variedades de puntos en el infinito, y que hay maneras de conectar los puntos en el infinito a lo finito de puntos. Visto desde dentro afín espacio, estas son las maneras de moverse de un punto al infinito mientras se alojan en la variedad. De ahí el lugar complejo es ilimitado y por lo tanto noncompact. Estoy asumiendo aquí el teorema, algo complicado de demostrar, que la conectividad en Zariski y analítica de la topología es la misma para el complejo de variedades (y esquemas).

En $\mathbb{R}^n$ el verdadero locus puede ser limitada, debido a una variedad afín puede no tener ninguno de los puntos reales en el infinito, como en el ejemplo con la esfera,$x^2+y^2+z^2=1$.

Answer 3

El siguiente argumento da una idea aproximada de la no-compacidad de afín $\mathbb{C}$curvas: vamos a $X$ ser una curva y deje $Y$ ser su proyectivas de cierre. A continuación, $Y\setminus X$ es un conjunto finito; tomar algún punto de $x$ en este conjunto. Eligió una familia $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ de cerrado (en la multa de topología) de subconjuntos de a $A_i\subseteq Y$ con las siguientes propiedades: $A_i\supseteq A_{i+1}$, $A_i\neq A_{i+1}$, $\bigcap_i A_i =\{x\}$.

A continuación, $(X\setminus A_i)_i$ es una cubierta de $X$ que no posee finito subcovering.