21 caras polígonos regulares y sus diagonales

Question

En un $21$ de lados del polígono regular, la cantidad de puntos dentro de ella son intersección de sus diagonales?

He encontrado que un polígono con $n$ lados ha $\dfrac{n(n - 3)}{2}$ de las diagonales, pero siento que esto no es tan útil para la solución de problemas. He estado intentando por $3$ horas sin éxito.

¿Cuál es la solución correcta?

Esto es parte de un concurso que ya está terminada (las soluciones no han sido liberados todavía).

Answer 1

Usted puede encontrar la siguiente idea útil. Tomar un convexo $n$-gon. Supongamos que no hay ningún punto en el interior de la $n$-gon en el que tres diagonales cumplir. Luego hay $\binom{n}{4}$ puntos de intersección de las diagonales dentro de la $n$-gon.

Hay varias formas para llegar a este resultado, pero sólo uno más simple. Elija $4$ vértices. Exactamente uno de los pares de líneas determinadas por dichas $4$ puntos se reúne en el interior de la $n$-gon, y por lo tanto el número total de puntos de intersección en el interior de la $n$-gon es $\binom{n}{4}$.

Answer 2

El caso general se resuelve aquí: http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf Aunque el caso general se resuelve en un lugar complicado, con el uso de 'pesado de casos', el resultado de una $n$-gon, al $n$ es primo, o es un producto de dos números primos, como es en tu caso puede ser obtenida fácilmente estudiando un poco el artículo.