Demostrar que $n$ es incluso y $|A| \in \{-1,1 \}$

Question

Deje $A \in M_{n} (\mathbb R)$, de tal manera que $A^2=-I_{n}$. Demostrar que $n$ es incluso y $|A| \in \{-1,1 \}$.

Empecé a calcular el determinante de ambos lados:

$A^2=-I_{n}\Leftrightarrow$

$|A^2|=|-I_{n}|\Leftrightarrow$

$|A|\cdot |A|=(-1)^n|I_{n}|\Leftrightarrow$

$|A|\cdot |A|=(-1)^n$

Se sabe que $|A|$ es un número real. El producto de dos igualdad de números reales es siempre positivo. Por lo $n$ debe ser par. Me pueden escribir a:

$|A|\cdot |A|=1$

Para obtener el resultado anterior hay dos posibilidades, $|A|=1$ o $|A|=-1$. Mi duda es si hay más posibilidades. Gracias.

Answer 1

No hay más posibilidades. Tal vez es un poco más evidente si se escribe:

$$|A| \cdot |A| = |A|^2 = 1.$$

La prueba está bien, hasta "El producto de dos igualdad de números reales es siempre $\color{darkred}{\text{positive}}$" (debería ser "no negativo", como user127001 escribió en los comentarios), pero esto realmente no cambia nada, ya que su producto es distinto de cero.