¿Cómo se mide la distancia en un globo terráqueo?

Question

Tengo un $3$ -D esfera de radio $R$ centrado en el origen.

$(x_1,y_1,z_1)$ y
$(x_2,y_2,z_2)$ son dos puntos de la esfera.

La distancia euclidiana es fácil de calcular, pero ¿y si me limitara a viajar por la superficie de la esfera?

Se me ocurren dos enfoques: utilizar longitud de arco de alguna manera, o simplemente utiliza la trigonometría: calcula el ángulo entre los dos puntos y obtén una distancia a partir de ahí.

¿Funcionarán ambos métodos? ¿Cuál sería más fácil?

Algo relacionado con esta pregunta . Tal vez inspire a alguien para que vaya a contestar.

Answer 1

Lo que se busca es lo que se denomina la distancia ortodrómica: la curva más corta que une dos puntos de la superficie de una esfera viene dada por recorrer el (habrá exactamente uno salvo que los puntos sean polos opuestos) arco del gran círculo (es decir, el círculo de radio $R$ ) que los conecta.

Por tanto, tienes que encontrar la longitud del arco, pero es fácil hacerlo sin recurrir al cálculo si conoces el producto punto. Supongamos que los dos puntos de la circunferencia están representados por los vectores $v$ y $w$ . Si $v\cdot w$ denota el producto punto de estos dos vectores, entonces el ángulo entre ellos será:

$\cos^{-1}\left(\large\frac{v\cdot w}{R^2}\right)$ (dividimos por $R^2$ desde $v$ y $w$ tienen longitud $R$ ).

Asumiendo que está en radianes, para obtener la longitud del arco que los une sólo tenemos que multiplicar este ángulo por $R$ para conseguirlo:

$R\cos^{-1}\left(\large\frac{v\cdot w}{R^2}\right)$ .

Tenemos mucha suerte de que exista una fórmula tan sencilla. Para la mayoría de las variedades, las curvas que minimizan las distancias no son muy fáciles de encontrar, ya que implica resolver una ecuación diferencial no lineal (la ecuación geodésica). El hecho de que la esfera sea tan simétrica ayuda en este caso, y quizá puedas convencerte de que un arco de gran círculo minimiza la distancia.

Puede que este artículo de la wikipedia le resulte interesante: http://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic .

Answer 2

Si tenemos la distancia euclidiana d entre los dos puntos y fijamos D = el diámetro de la esfera (por tanto, D = 2R), la distancia ortodrómica es D*InvSin(d/D), donde InvSin es la función seno inversa. Si sabes que d/D suele ser muy pequeño, puedes aproximar la distancia ortodrómica utilizando unos cuantos términos de la serie de Taylor para el seno inverso.

Answer 3

La distancia lineal ( $d$ ) entre los puntos dados: $\color{blue}{(x_{1}, y_{1}, z_{1})}$ & $\color{blue}{(x_{2}, y_{2}, z_{2})}$ en la esfera de radio $\color{blue}{R}$ es la siguiente $$\color{blue}{d=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2+(z_{1}-z_{2})^2}}$$ Ahora, el ángulo $\theta$ subtendida por esta cuerda de longitud $d$ en el centro de la esfera es $$\sin\frac{\theta}{2}=\frac{\frac{d}{2}}{R}$$$$ \implies \color{blue}{\theta=2\sin^{-1}\left(\frac{d}{2R}\right)} $$ Hence the distance (as a great circle arc) between the given points on the sphere with a radius $ R $ is $$ =\color{blue}{\text{R}\times \theta} $$ $$ =\color{green}{2R\sin^{-1}\left(\frac{d}{2R}\right)}$$