Supongamos $P(x)$ es un polinomio de grado $2012$ $P(x) = 1/x$ al $x$ toma los valores enteros $1\cdots2013$ (inclusive). ¿Cuál es el valor de $P(2014)$?
Llego $1/1007$ pero no estoy seguro de si es correcto, y mi método es muy poco elegante.
Respuesta
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$x\cdot P(x)$ es un polinomio de grado $2013$ que alcanza el valor de$1$$2013$$1,2,\dotsc,2013$. Así
$$xP(x) = 1 + c\prod_{k=1}^{2013} (x-k).$$
Ahora, $xP(x)$ evidentemente alcanza el valor de$0$$x = 0$, por lo que
$$0 = 1 + c\cdot (-1)^{2013}\cdot 2013!$$
o $c = \dfrac{1}{2013!}$. Entonces
$$2014\cdot P(2014) = 1 + \frac{1}{2013!}\cdot 2013! = 2,$$
y, de hecho,
$$P(2014) = \frac{2}{2014} = \frac{1}{1007}.$$
