Homeomorfismo de dos conjuntos compactos

Question

Si tengo dos subconjuntos compactos, $A$ y $B$ del plano $\mathbb{C}$ y sabemos que $\partial A$ y $\partial B$ son homeomórficos, ¿podemos decir que $A$ y $B$ ¿son homeomórficos?

Answer 1

Dejemos que $A$ ser un círculo completo y $B := A$ .

Answer 2

No. Considere un anillo cerrado, como $\{z \in \mathbb C \mid 1 \leq |z| \leq 2\}$ y la unión de dos discos cerrados, como $\{z \in \mathbb C \mid \min(|z-2|,|z+2|) \leq 1\}$ .