Serie infinita de los derivados de la posición cuando se inicia desde el reposo

Question

Suponga que tiene un objeto con cero para el valor de todos los derivados de la posición. Con el fin de obtener el objeto que se mueve necesitaría aumentar el valor de la velocidad desde cero para algún valor finito. Un cambio de la velocidad es la aceleración, por lo que el valor de la aceleración tendría que aumentar a partir de cero para algún valor. También habría que aumentar el tirón de cero para algún valor a tener un cambio en la aceleración. Hay una serie infinita de mayor derivados de posición para que esto funcione? O me estoy perdiendo algo?

Answer 1

I) Descargo de responsabilidad: En esta respuesta, sólo consideraremos la matemática idealizada problema clásico, que es interesante en sí mismo, aunque es cierto que académicos y separados de los sistemas físicos.

II) en principio, es posible que en todo momento derivados de la posición $x(t)$ se desvanece en $t=0$, y, sin embargo, la partícula se mueve de distancia (desde donde se en $t=0$).

$\uparrow$ Fig. 1: Una parcela de posición $x$ como una función del tiempo $t$.

Ejemplo: Supongamos que la posición está dada por la siguiente infinitamente muchas veces derivable la función

$$ x(t)~:=~\left\{ \begin{array}{ccl} \exp\left(-\frac{1}{|t|}\right)&\text{for} & t~\neq~ 0, \\ \\ 0 &\text{for} & t~=~ 0. \end{array} \right. $$

Tenga en cuenta que la serie de Taylor para la $C^{\infty}$-función de $x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ en el punto de $t=0$ es idénticamente igual a cero.$^1$ El radio de convergencia de la serie de Taylor es cero. En particular, llegamos a la conclusión de que la función suave $x$ no es un verdadero analítica de la función.

III) Si te gusta este Phys.SE pregunta usted también puede disfrutar de la lectura acerca de la No unicidad de soluciones en la mecánica Newtoniana y Norton de la cúpula y su ecuación.

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$^1$ Esbozó una prueba de que $x\in C^{\infty}(\mathbb{R})$: en primer lugar, obviamente, $x$$C^{\infty}$$t\neq 0$. Por inducción en $n\in\mathbb{N}_0$$t\neq 0$, es sencillo deducir que el $n$'th derivados es de la forma $$x^{(n)}(t)~=~\frac{P_n(t,|t|)}{Q_n(t,|t|)}x(t), \qquad t\neq 0,$$ for some polynomials $P_n$ and $Q_n\neq 0$. Secondly, it follows that the $(n\!+\!1)$'th derivative at the origin $$x^{(n+1)}(0)~=~\lim_{t\to 0} \frac{x^{(n)}(t)}{t}~=~0$$ existe y es igual a cero "porque exponenciales beat polinomios". Fin de esbozar la prueba.

Answer 2

Hay liso funciones que tienen todos los derivados igual a cero en un punto (de hecho, fuera de un intervalo acotado) sin embargo, no son constantes. Por ejemplo, puedes encontrar una función suave $f$ tal que $f(t)$ y todos sus derivados son $0$ siempre $t \le 0$ $f(t) = 1$ siempre $t \ge 1$ (y todos los derivados de $f$ son cero cuando se $t \ge 1$). Entonces, si usted toma la fuerza en la segunda ley de Newton a ser $$F(t) = mf''(t)$$ la solución para el IVP $$m\ddot{x} = F \qquad x(0) = \dot{x}(0) = 0$$ es claramente un movimiento suave de partida en $x = 0$ con todos los derivados de los desplazamientos en cero y termina en $x = 1$, con todos los derivados de los desplazamientos también cero.

Sin embargo, por un tiempo independiente de la fuerza de la urografía EXCRETORA $$m\ddot{x}(t) = F(x(t)) \qquad x(0) = \dot{x}(0) = 0 $$ al $F(x(0)) = 0$ la solución es una partícula en reposo. De esta manera se sigue de la unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Físicamente al $F = 0$ no es una posición de equilibrio, y una partícula en reposo en una posición de equilibrio permanece en reposo hay. Por supuesto, esto es en realidad la primera ley de Newton.

Answer 3

La pregunta es: "¿hay una serie infinita de mayor derivados de posición para que esto funcione?"

Respuesta: No.

La aceleración puede saltar de cero a algo. Cuando lo hace, su derivada no está definida, por lo que la serie de la posición de derivados se detiene después de la segunda.

A partir de la pregunta: "Un cambio de la velocidad es la aceleración, por lo que el valor de la aceleración tendría que aumentar a partir de cero para algún valor."

La primera parte es cierto, necesitamos no-aceleración de cero. La segunda parte es engañosamente formuladas. Se puede leer como "aceleración para aumentar de forma continua", lo cual es falso. En contraste con la velocidad, la aceleración puede ir de cero a algo.

Filosóficamente hablando, no hay ninguna ley que diga que "en la física, los derivados son siempre suaves". Algunos derivados acaba de saltar.

Answer 4

Matemáticamente, que cómo iba a funcionar. Si has solucionado el problema de valor inicial donde todos los tiempos derivados de los desplazamientos fueron de cero, entonces usted tendría cero desplazamiento. No overthink :)

Answer 5

Tomando la de Taylor, series enfoque en $t=0$ con respecto al tiempo, con todos los derivados de cero, el resultado sería cero movimiento.

Si el movimiento está presente, a continuación, algunas derivadas de orden mayor debe ser un impulso a $t=0$ de manera tal que la derivada de abajo que es una función de paso.

En el tren de válvulas dynamics esto se hace generalmente mediante la especificación lineal tirón (paso complemento, impulso de crackle, indefinido pop).

Así que a $t=0$ tenemos la 4ª derivada del paso de cero a $\ddddot{x}>0$ y haciendo el idiota lineal $\dddot{x} = C_1 t$, la aceleración de una parábola $\ddot{x} = C_2 t^2$, la velocidad de $\dot{x}=C_3 t^3$ y la posición $x=C_4 t^4$.

En algunas aplicaciones críticas puede especificar lineal complemento aumentar el orden de la curva 1 para evitar ciertos indeseables dinámica del resorte de la válvula.

_NOTA: Snap Crackle y Pop son términos reales.