Minimizar una suma de potencias

Question

Para números enteros positivos $ b_1,b_2,...,b_T $ Estoy intentando resolver el siguiente problema de optimización: $$ \min_{\substack{p_1,\ldots,p_T\\ p_1+\cdots+p_T=1\\}} \sum_{i=1}^T {p_i} ^ {b_i} .$$

La solución que me gustaría encontrar es una expresión para $ p_i $ en términos de $ b_i $ . Por ejemplo, algo como $ p_i \sim 1/b_i $ .

He probado algunas cosas diferentes, incluyendo la experimentación con el caso simple en el que $ T = 2 $ pero he tenido algunos problemas. Si alguien puede decirme cómo resolverlo, darme alguna orientación, o incluso decirme si este problema es tratable, se lo agradecería mucho. Gracias.

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Actualización:

Ahora he probado a utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver este problema de optimización. Sin embargo, no estoy del todo seguro de que esto sea correcto.

El Lagrangiano es:

$$ L(p,\lambda) = \sum_{i} {p_i}^{b_i} - \lambda \bigl(\sum_{i}{p_i -1} \bigr) $$

A continuación calculo el gradiente

$$ \frac{dL}{dp_i} = b_i p_i^{b_i - 1} - \lambda$$ $$ \frac{dL}{d\lambda} = \sum_i p_i - 1 $$

Los pongo a cero para calcular los puntos fijos. ¿Pero lambda sólo está en mi primera ecuación? Termino con:

$$ p_i = \bigl( \frac{\lambda}{b_i} \bigr)^{\frac{1}{(b_i - 1)}}$$

Entonces, para resolver la lambda, debo sustituir esta expresión por la 2ª ecuación:

$$ \sum_i p_i = \sum_i \bigl ( \frac{\lambda}{b_i} \bigr ) ^{\frac{1}{(b_i - 1)}} = 1 $$

Answer 1

Me centraré en resolver $\lambda$ en tu última ecuación.

$$\sum_{i}\left(\frac{\lambda}{b_i}\right)^\frac{1}{b_i-1}=1\quad\equiv\quad\sum_{i}\left(\frac{1}{b_i}\right)^\frac{1}{b_i-1}\left(\lambda\right)^\frac{1}{b_i-1}=1\quad \equiv:\quad\sum_i c_i\ \sqrt[b_i-1]{\lambda}=1$$

que muestra claramente, que el problema consiste en eliminar los radicales; que se puede hacer por el buen método del Dr. Vogler, que se describe en Stackexchange https://mathoverflow.net/questions/177765/rewrite-sum-of-radicals-equation-as-polynomial-equation .

Una vez eliminados los radicales, el problema se ha convertido en la tarea más sencilla de resolver una ecuación polinómica; ese problema puede introducirse entonces en un solucionador simbólico o numérico.

Answer 2

Si ayuda tener a mano una solución explícita para comprobar hipótesis, los solucionadores no tienen dificultades con las instancias individuales. Por ejemplo, $$ \min \; p_1^2 + p_2^3 + p_3^2 + p_4^4 $$ conduce a $$ (p_1,\, p_2,\, p_3,\, p_4) \approx (0.14058,\, 0.30614,\, 0.14058,\, 0.41270) \;. $$