El casco convexo de cada conjunto abierto es abierto

Question

Deje $X$ ser un espacio vectorial topológico. Demostrar que el casco convexo de cada subconjunto abierto de $X$ está abierto.

He intentado utilizar la definición de Convex Hull y Conjunto Abierto, pero yo no podía probar la declaración.

Answer 1

Deje $A$ ser un subconjunto de a $X$.

Si $\,x\,$ es un elemento del casco convexo de $A$, entonces no existe$\,x_1,\dots,x_n$$A$$\lambda_k \ge 0$$\sum_{k=1}^n \lambda_k=1\,$$\,x=\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k$.

Al menos uno de los $\lambda_k$ no desaparecen: decir $\lambda_1$.

La función de $f: X \rightarrow X$, definido por $f(z)=\lambda_1^{-1}(z-\sum_{k=2}^n \lambda_k x_k)$, es continua (es una homothety), por lo $f^{-1}(A)=\lambda_1 A+\sum_{k=2}^n \lambda_k x_k\,$ está abierto.

Ahora $x \in f^{-1}(A)$ $f^{-1}(A)$ es un subconjunto del casco convexo de $A$, por lo que el casco está abierto.

Answer 2

1)En el caso de que tengamos una métrica:

Vamos $z \in [A]$ ($[A]$ denota el casco convexo de $A$).

Por lo tanto, para algunos $n \in \mathbb{N}$ hay $x_1,x_2 \ldots, x_n \in A$ $\lambda_1,\lambda_2 \ldots,\lambda_n \in (0,1)$ tal que $\lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda_n =1$ $$z = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \ldots +\lambda_n x_n

Ahora $\exists \epsilon: \, \forall i \in \{1 \ldots n\}:$ $B(x_i,\epsilon) \subset A$ y $

para $w \in B(0,\epsilon)$ $x + w \in B(x_i,\epsilon)$ y $x_i + w \in A$

Tenga en cuenta que $$z + w = \lambda_1 (x_1 + w) + \lambda_2(x_2 + w) + \ldots + \lambda_n(x_n + w)\Rightarrow z+ w \in A$$ Por lo tanto, $B(z, \epsilon) \subset [A]$ $[A]$ está abierto

2) En el caso que acabamos de tener abiertos los conjuntos y X es un espacio topológico:

buenas referencias http://planetmath.org/proofthattheconvexhullofsisopenifsisopen y http://planetmath.org/sites/default/files/texpdf/31744.pdf

En este caso, por definición, el producto escalar es abierto. Esto significa que en el caso de $A$ está abierto considerar $\lambda \in \mathbb{R}$ (o cualquier otro campo) y $f_{\lambda}:X \to X$ $f_{\lambda}(x) = \lambda^{-1} x$ $${\lambda x: x \in A} = f_{\lambda}^{-1}(A) \quad \text{ is open}$$ considerar también la posibilidad de $x \in X$ y $g_{x}: X \to X$ $g_{x}(a) = a - x$

$$A + x = {a + x: \en Un} = g_{x}^{-1}(A) \quad \text{ también está abierto}$$

Por lo tanto

$$[A] = \cup_{n \in \mathbb{N}} \underset{\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = 1}{\cup_{\lambda_{i} \in \mathbb{R}}}f_{\lambda_1}^{-1}(A) + \ldots + f_{\lambda_n}^{-1}(A)$$

finalmente tenga en cuenta que si $A$ está abierto

$$A + B := \{x+ y: x \in A, y \in B\} = \cup_{y \in B} (A + y) \text{ is also open}$$

Por lo tanto $$f_{\lambda_1}^{-1}(A) + \ldots + f_{\lambda_n}^{-1}(A) \text{ is also open}$$

Así llegamos a la conclusión de que $[A]$ está abierto